Explique o significado físico da equação:
D=D_{0} e^{\frac{-Q}{R T}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
D = D_{0}\,e^{-\frac{Q}{R\,T}}
em que D é o coeficiente de difusão, T é a temperatura absoluta e aparecem constantes D_{0}, Q e R.
Este é um caso clássico de dependência tipo Arrhenius. Para entender o significado físico, precisamos:
• Identificar o que representam cada parâmetro.
• Ver por que surge o expoente \exp(-Q/(RT)).
• Interpretar como a temperatura afeta a difusão.

Passo 2

Identificamos os parâmetros:
D é o coeficiente de difusão ( m^{2}/s), mede a rapidez com que átomos ou moléculas se deslocam no meio.
D_{0} é o fator pré-exponencial ( m^{2}/s), relacionado à frequência de tentativas de salto dos átomos.
Q é a energia de ativação à difusão (J/mol), energia mínima que um átomo deve vencer para trocar de posição.
R é a constante universal dos gases ( 8{,}314 J/mo l\cdot K).
T é a temperatura absoluta (K).

Passo 3

A origem do termo exponencial vem de modelos de saltos termicamente ativados:
  1. Cada átomo no sólido “tenta” pular para um sítio vizinho com certa frequência.
  2. Para saltar, ele precisa vencer uma barreira energética de altura Q.
  3. A probabilidade de um átomo ter energia suficiente segue a estatística de Boltzmann, ou seja, proporcional a
e^{-\frac{Q}{k_{B}T}},
com k_{B} constante de Boltzmann.
4. Convertendo por mol, k_{B}N_{A}=R, obtemos
D \propto e^{-\frac{Q}{R\,T}}.
Multiplicando pela componente de frequência de tentativa e geometria de salto chega-se à forma completa \displaystyle D=D_{0}e^{-Q/(RT)}.

Passo 4

Interpretação física dos parâmetros:
D_{0} reflete quantas “tentativas de salto” ocorrem por unidade de tempo e o espaço médio percorrido num salto.
Q reflete a dificuldade da difusão: quanto maior Q, mais difícil o salto e menor D a uma dada T.
• A dependência exponencial faz D crescer muito rápido com T: um pequeno aumento em 1/T altera drasticamente D.

Passo 5

Um uso prático: ao tomar logaritmo, temos
\ln D = \ln D_{0} \;-\;\frac{Q}{R}\,\frac{1}{T}.
Isso prediz uma reta se plotarmos \ln D versus 1/T. Da inclinação obtém-se -Q/R e do intercepto \ln D_{0}. Assim, caracterizamos experimentalmente Q e D_{0}.

Passo 6

Em resumo, a equação diz que a difusão em sólidos é um processo termicamente ativado: a taxa de difusão é baixíssima a temperaturas baixas (átomos não têm energia), e aumenta exponencialmente quando aquecemos, pois mais átomos vencem a barreira Q.

Resposta

A equação D = D_{0} e^{-Q/(RT)} exprime que o coeficiente de difusão D em um sólido cresce de forma exponencial com a temperatura, sendo controlado por uma energia de ativação Q que os átomos devem vencer para saltar de sítio em sítio; D_{0} é o fator pré-exponencial que reúne frequência de tentativas e geometria de salto, e R é a constante dos gases.

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