Explique o conceito de quantidade molar parcial.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar o conceito de quantidade molar parcial.
Informações dadas (implícitas no pedido): deseja-se entender o que é uma quantidade molar parcial, como ela é definida matematicamente, como interpretá‑la fisicamente e como usá‑la em cálculos (por exemplo para volume, energia livre, etc.). Não há números nem figura; é um pedido conceitual e didático.

Passo 2

Ideia física e intuição inicial (a “intuição do dia a dia”): pense numa solução como uma sala onde você vai colocando pessoas (moléculas). Algumas propriedades da sala (volume, energia, entropia, energia livre) dependem de quantas pessoas e de que tipo elas são. A quantidade molar parcial de um componente é a contribuição “efetiva por mole” desse componente para a propriedade total da mistura — mais precisamente, é a variação da propriedade total quando eu adiciono uma quantidade infinitesimal a mais desse componente, mantendo temperatura, pressão e as quantidades dos outros componentes fixas. Em palavras curtas: é o “quanto a propriedade muda por cada mol adicional do componente i”.

Passo 3

Definição matemática precisa. Seja X uma propriedade extensiva da mistura (por exemplo volume V, energia interna U, entalpia H, energia livre de Gibbs G, etc.). Denotemos por n_i o número de mols do componente i. A quantidade molar parcial de i relativa à propriedade X é definida por
\bar{X}_i \equiv \left(\frac{\partial X}{\partial n_i}\right)_{T,P,n_{j\neq i}}.
Expliquei cada símbolo: \bar{X}_i é a quantidade molar parcial do componente i; X é a propriedade total (extensiva); a derivada é tomada a temperatura T e pressão P constantes, e mantendo fixos todos os demais números de mols n_{j\neq i}. A notação significa “taxa de variação de X quando só n_i varia”.

Passo 4

Interpretação operacional e consequência imediata (fórmula de aditividade). Se \bar{X}_i é definida como no passo anterior, então a propriedade total pode sempre ser escrita como soma das contribuições molares parciais:
X = \sum_i n_i\,\bar{X}_i.
Por que isso é verdade? Pense em somar as pequenas variações: quando eu construo a mistura adicionando mol por mol cada componente, a contribuição total é a soma das contribuições por mole; formalmente essa expressão segue da definição de derivada e da extensividade de X. Essa relação é muito útil: ela permite calcular X se conhecermos os \bar{X}_i.

Passo 5

Propriedade molar média. É comum trabalhar com a propriedade molar média \hat{X} (ou X_m), definida por
\hat{X} \equiv \frac{X}{n},\qquad n\equiv\sum_i n_i.
Também definimos fração molar \displaystyle x_i\equiv\frac{n_i}{n}. Usando a equação do passo 4 e dividindo por n, obtemos a relação importante
\hat{X} = \sum_i x_i\,\bar{X}_i.
Isto mostra que a propriedade molar média é uma média ponderada das quantidades molares parciais, ponderada pelas frações molares.

Passo 6

Relação de Gibbs–Duhem (forma simples aqui). Diferenciando X=\sum n_i\bar{X}_i a T,P constantes e usando a definição de \bar{X}_i chega‑se à identidade
\sum_i n_i\,d\bar{X}_i = 0\qquad\text{(a \(T,P\) constantes).}
Significado prático: as quantidades molares parciais não são independentes; se você variar \bar{X}_1 ao mudar a composição, os demais \bar{X}_i têm que ajustar‑se de modo que essa soma seja zero. Em termos de frações molares, a forma equivalente é
\sum_i x_i\,d\bar{X}_i = 0.
Essa relação ajuda a obter uma quantidade molar parcial quando só conhecemos as outras, ou a verificar consistência de dados experimentais.

Passo 7

Cálculo prático para mistura binária (fórmula útil para provas). Para uma mistura com só dois componentes 1 e 2, escrevendo \hat{X}=\hat{X}(x_1) como função da fração molar x_1 (note x_2=1-x_1), as quantidades molares parciais são dadas por fórmulas que se obtêm por diferenciação e álgebra:
\bar{X}_1 = \hat{X} + (1-x_1)\,\frac{d\hat{X}}{dx_1},
\bar{X}_2 = \hat{X} - x_1\,\frac{d\hat{X}}{dx_1}.
Derivação curta (passo a passo): começamos de \hat{X}=\!x_1\bar{X}_1+x_2\bar{X}_2. Diferenciando ambas as partes em relação a x_1 e usando dx_2=-dx_1 e a relação de Gibbs–Duhem reduzida para binário, obtemos as fórmulas acima. Na prática: se você tem uma expressão experimental ou teórica para \hat{X}(x_1), calcula a derivada e aplica essas fórmulas para achar \bar{X}_1 e \bar{X}_2.

Passo 8

Exemplo simples (caso ideal/adição linear) — como checar no exame. Suponha que a propriedade X seja aditiva e proporcional ao número de mols de cada componente com os mesmos valores molares que nos puros: X = n_1 X_1^0 + n_2 X_2^0, onde X_i^0 é a propriedade molar do componente puro i. Então, pela definição,
\bar{X}_1 = X_1^0,\qquad \bar{X}_2 = X_2^0.
Ou seja, em soluções ideais (ou casos aditivos) a quantidade molar parcial coincide com a propriedade molar do componente puro. Exemplos típicos: mistura ideal de gases ou quando volumes são estritamente aditivos (sem contração).

Passo 9

Exemplo numérico rápido (ilustrativo). Imagina que ao misturar 1 mol de A e 1 mol de B o volume total mede V=1{,}95\\ \text{L}, enquanto os volumes dos puros são V_A^0=1{,}0\\ \text{L/mol} e V_B^0=1{,}1\\ \text{L/mol}. Se o comportamento fosse aditivo esperaríamos 2{,}1\\ \text{L}, mas obtivemos 1{,}95\\ \text{L} (contração). Para estimar \bar{V}_A e \bar{V}_B precisamos de medidas adicionais em composições diferentes ou usar as fórmulas do passo 7 com \hat{V}(x_1) estimada a partir de dados experimentais. A lição prática: sem a dependência \hat{V}(x_1) você não consegue separar as contribuições molares parciais apenas de um único ponto.

Passo 10

Relação com potencial químico e importância física. Um caso chave é X=G (energia livre de Gibbs). A quantidade molar parcial de G é exatamente o potencial químico:
\bar{G}_i = \mu_i.
Isso é fundamental para equilíbrio químico e de fases: o equilíbrio exige igualdade de potenciais químicos entre fases ou espécies, portanto as quantidades molares parciais (neste caso, \mu_i) determinam estabilidade, fugacidades, atividades, etc.

Passo 11

Como responder numa prova — checklist prático e rápido:
  1. Defina com a fórmula: \displaystyle \bar{X}_i = \left(\frac{\partial X}{\partial n_i}\right)_{T,P,n_{j\neq i}}.
  2. Explique a interpretação física: variação de X por mol adicional de i mantendo T, P e outros n_j fixos.
  3. Escreva as relações úteis: X=\sum n_i\bar{X}_i e \hat{X}=\sum x_i\bar{X}_i.
  4. Se for binário e você conhece \hat{X}(x_1), use as fórmulas do passo 7 para \bar{X}_1,\bar{X}_2.
  5. Mencione o caso X=G com \bar{G}_i=\mu_i (bônus conceptual).
    Seguindo esses pontos você ganha pontos e mostra domínio do conceito.

Resposta

A quantidade molar parcial de um componente i para uma propriedade extensiva X é
\bar{X}_i \equiv \left(\frac{\partial X}{\partial n_i}\right)_{T,P,n_{j\neq i}},
ou seja, a variação de X ao adicionar um mol infinitesimal de i mantendo T, P e os demais n_j constantes; ela satisfaz X=\sum_i n_i\bar{X}_i e, em termos molares médios, \hat{X}=\sum_i x_i\bar{X}_i.

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