4.2 Explique detalhadamente como o cálculo do trabalho ( W ) acima seria modificado se o campo elétrico não fosse uniforme, ou seja, variasse no espaço e se a trajetória percorrida pela carga não fosse retilínea.

Passo 1

O enunciado original calcula o trabalho de uma carga q em um campo elétrico uniforme \vec E ao longo de um deslocamento retilíneo \Delta \vec r como
W = \vec F\cdot\Delta \vec r = q\,\vec E\cdot\Delta \vec r.
Aqui o campo não depende da posição e o produto escalar é constante. Para um campo não uniforme \vec E=\vec E(\vec r) e uma trajetória curva C, precisamos usar a noção de integral de linha em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro dividimos a curva C em pequenos trechos diferenciais \mathrm{d}\vec \ell. Em cada ponto \vec r_i a força na carga é
\mathrm{d}\vec F_i = q\,\vec E(\vec r_i),
e o trabalho diferencial associado a esse trecho é
\mathrm{d}W_i = \mathrm{d}\vec F_i\cdot\mathrm{d}\vec \ell = q\,\vec E(\vec r_i)\cdot\mathrm{d}\vec \ell.

Passo 3

Passando ao limite em que o número de pedaços vai a infinito, a soma dos \mathrm{d}W_i torna-se uma integral de linha ao longo de C:
W = \sum_i\mathrm{d}W_i \;\longrightarrow\; W = q \int_C \vec E(\vec r)\cdot\mathrm{d}\vec \ell.

Passo 4

Para calcular essa integral precisamos parametrizar a curva C. Suponha que \vec r=\vec r(t) com t variando de a até b. Então
\mathrm{d}\vec \ell = \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t
e a expressão fica
W = q \int_{t=a}^{t=b} \vec E\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Na prática, para resolver W você deve:
  1. Escrever a forma funcional de \vec E(x,y,z).
  2. Dar uma parametrização \vec r(t) que descreva a curva de t=a (início) até t=b (fim).
  3. Substituir no integrando \vec E(\vec r(t))\cdot \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t} e calcular a integral de a até b.

Resposta

O trabalho de uma carga q em um campo não uniforme ao longo de uma trajetória curva C é dado por
W = q \int_C \vec E(\vec r)\cdot \mathrm{d}\vec \ell
ou, usando parametrização \vec r(t),
W = q \int_{a}^{b} \vec E\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t.

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