Explique a diferença entre resistência e Resistividade. Escreva a lei de Ohm nos dois casos. Explique a relação entre campo elétrico e densidade de corrente.
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e vou listar exatamente cada uma para a gente não se perder:
- Explicar a diferença entre resistência e resistividade.
- Escrever a lei de Ohm nos dois casos (a forma macroscópica e a forma “microscópica”/local).
- Explicar a relação entre campo elétrico e densidade de corrente.
Informações implícitas que vou usar (não foi pedido, mas são necessárias para responder):
- Vou usar os símbolos padrão:
para resistividade e para resistência, para condutividade, para campo elétrico e para densidade de corrente. - Nenhuma figura ou dado numérico específico foi fornecido; quando eu usar um exemplo numérico, vou escolher valores típicos e explicitar isso.
Passo 2
O que é resistividade? definição, significado físico e unidade.
- Definição: a resistividade é uma propriedade intrínseca do material que mede a dificuldade que cargas livres têm para se mover naquele material. Representamos por
. - Unidade: a resistividade tem unidade de ohm-metro, isto é
. - Interpretação física simples: materiais com resistividade pequena (como cobre) permitem que elétrons se movam facilmente; materiais com resistividade grande (como vidro) dificultam o movimento. A resistividade depende do material e da temperatura.
- Exemplo de valor: para o cobre aproximadamente
. Eu estou citando esse valor como um exemplo típico (você não precisa decorar, mas é útil para intuir orders of magnitude).
Passo 3
O que é resistência? definição, dependência geométrica e unidade.
- Definição: a resistência é a propriedade de um objeto (um fio, uma barra, etc.) que mede quanto ele “resiste” ao fluxo de corrente elétrica. Representamos por
. - Unidade: a resistência tem unidade de ohm,
. - Dependência geométrica: a resistência depende tanto da resistividade do material quanto da geometria do objeto. Para um condutor uniforme de comprimento
e seção transversal de área , temos a fórmula clássica
Expliquei cada símbolo:
é a resistividade do material,
é o comprimento do condutor na direção da corrente e
é a área da seção transversal perpendicular à corrente.
- Intuição: aumentando
(mais caminho) aumenta ; aumentando (mais “pista” para a corrente) diminui .
Passo 4
Derivação passo a passo de
usando conceitos locais (assim você aprende a fazer isso numa prova).
- Defina densidade de corrente média para um fio de área
com corrente :
onde
é o versor na direção do fluxo e eu estou assumindo corrente uniforme na seção.
2. Use a forma local de Ohm (vou explicá-la depois) que relaciona campo elétrico e densidade de corrente por
2. Use a forma local de Ohm (vou explicá-la depois) que relaciona campo elétrico e densidade de corrente por
- Se o campo
for uniforme ao longo do comprimento e alinhado com a corrente, a diferença de potencial entre as extremidades é
- Substitua
e :
- Reorganizando, obtemos a lei macroscópica de Ohm
com
Esse procedimento mostra claramente como a propriedade local (
) gera a resistência do objeto (
) via geometria.
Passo 5
Lei de Ohm macroscópica e microscópica — escrevendo e explicando ambas.
- Lei de Ohm (macroscópica, usada em circuitos): a relação entre tensão e corrente em um resistor linear é
onde
é a diferença de potencial entre as extremidades,
é a corrente e
é a resistência do componente. Essa é a forma que você usa quando resolve circuitos (soma de tensões, leis de Kirchhoff, etc.).
- Lei de Ohm (microscópica ou local): localmente, em um material ôhmico (resposta linear), a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico:
onde
é a condutividade elétrica do material. Como
, você também pode escrever
Observações:
- Essas equações são vetoriais:
e têm direção e sentido; a proporcionalidade é local (em cada ponto do material). - Validade: essas formas valem para materiais “ôhmicos” (resposta linear). Muitos materiais e dispositivos não seguem relação linear em todas as condições (ex.: diodos, filamentos aquecidos, semicondutores em certas faixas).
Passo 6
Definição e significado de densidade de corrente
— como pensar e calcular na prova.
- Definição operacional: a densidade de corrente é a corrente por unidade de área, com direção do fluxo de cargas:
onde
é a corrente que atravessa a pequena área
com normal
.
- Expressão microscópica (modelo de portadores): se as cargas móveis têm número por volume
, carga elementar (por ex. para elétrons) e velocidade média de deriva , então
Expliquei cada símbolo:
é densidade de portadores (m^{-3}),
carga de cada portador (C),
velocidade média (m/s). Essa fórmula conecta a microfísica ao campo macroscópico
.
- Relação com corrente total: a corrente através de uma superfície
é
Passo 7
Ligando tudo: como o campo elétrico gera corrente — explicação física e, se quiser, uma derivação curta (Drude qualitative).
- Intuição física: um campo elétrico
aplica força sobre cargas livres; essas cargas adquirem uma velocidade média de deriva (limitada por colisões/dispersões). A velocidade média gera uma corrente . No regime linear (fraca excitação), é proporcional a , logo . - Modelo simples (Drude, só para intuir): sob um campo constante, a força média por portador é
; entre colisões típicas com tempo médio , o ganho de velocidade é . Assim . Substituindo em dá
ou seja,
. Isso só é uma justificativa física para a proporcionalidade; não precisa decorar o fator, mas ajuda a entender por que
depende de
e de quão “limpo” é o metal (τ grande → maior σ).
- Observação prática: localmente
. Para obter a queda de tensão entre 2 pontos, integramos ao longo do caminho:
Se
e
forem uniformes e paralelos, isso reduz ao desenvolvimento do Passo 4.
Passo 8
Casos com geometria não uniforme e formulação integral útil na prova.
- Se a área
varia ao longo do comprimento, a resistência total do fio é
Derivação curta: aplique localmente
com
e integre.
- Para problemas de contorno ou campos não uniformes, trabalhe sempre localmente: calcule
e integre para obter e .
Passo 9
Exemplo numérico rápido (faça isso passo a passo numa prova para verificar unidade e magnitude).
- Exemplo: fio de cobre de comprimento
e área . Use . - Calcule:
- Resultado:
. Esse tipo de conta aparece direto em prova — é bom praticar com notação científica para não se enrolar com zeros.
Passo 10
Dicas rápidas para a prova (práticas e motivadoras)
- Quando a questão dá material + geometria, use
. Faça sempre a checagem de unidades: em , em , em → em . - Se a questão descreve um circuito com resistor, use
. - Se pedem campo e corrente localmente, use
(ou ) e integre para obter tensões/correntes quando necessário. - Se a questão fala de materiais não-lineares, mencione que a forma linear pode falhar e justifique (ex.: dependência de temperatura, efeito de aquecimento, salto de condução em diodos).
Resposta
Resistência: propriedade de um componente que depende da resistividade do material e da geometria; para condutor uniforme
. Resistividade: propriedade intrínseca do material que mede a dificuldade das cargas se moverem, símbolo
, unidade
.
Lei de Ohm (macroscópica):
. Lei de Ohm (microscópica/local):
ou, equivalentemente,
com
.
Relação campo elétrico–densidade de corrente: localmente
(definição microscopica) e, em materiais ôhmicos,
; para obter tensões/correntes macroscópicas use
e
.