(a) Explique o quê é uma equação de autovalores. (b) Qual é a importancia dessa equação na mecânica quantica. © Escreva a equação de autovalores mais importante da Física Quântica. (d) Que podemos obter a partir de uma equação de autovalores.
Explique o quê é uma equação de autovalores.
Explique o quê é uma equação de autovalores.
Passo 1
O exercício tem quatro partes:
(a) explicar o que é uma equação de autovalores;
(b) dizer por que ela é importante na mecânica quântica;
© escrever a equação de autovalores mais importante da Física Quântica;
(d) dizer o que podemos obter a partir de uma equação de autovalores.
(a) explicar o que é uma equação de autovalores;
(b) dizer por que ela é importante na mecânica quântica;
© escrever a equação de autovalores mais importante da Física Quântica;
(d) dizer o que podemos obter a partir de uma equação de autovalores.
Conteúdo: álgebra linear (operadores, autovalores e autovetores) e mecânica quântica (postulados de medição e equação de Schrödinger).
Vamos precisar entender o que é um operador linear e como ele gera um autovalor e um autovetor.
Vamos precisar entender o que é um operador linear e como ele gera um autovalor e um autovetor.
Passo 2
Definindo a equação de autovalores
Num contexto de álgebra linear, você tem um operador (ou matriz) que age num vetor
. Dizemos que
Num contexto de álgebra linear, você tem um operador (ou matriz)
é uma equação de autovalores quando existe algum número
(o autovalor) e um vetor não nulo
(o autovetor) que satisfaz isso.
Em palavras: aplicar em
só “esticou” (ou “esticou e inverteu”)
, sem mudar sua direção, e o fator de “esticada” é
.
Em palavras: aplicar
Passo 3
Importância na mecânica quântica
Na mecânica quântica, cada observável (energia, posição, momento etc.) vira um operador . O postulado de medição diz:
Na mecânica quântica, cada observável (energia, posição, momento etc.) vira um operador
- Quando você mede esse observável, o sistema “colapsa” num autovetor
de . - O valor que você obtém na medida só pode ser um autovalor
de .
Ou seja, saber a equação de autovalores de um operador te dá todos os resultados possíveis daquela medida e os estados associados a eles.
Passo 4
A equação de autovalores mais importante da Física Quântica
É a equação de Schrödinger independente do tempo, que é o autovalor do Hamiltoniano (energia total):
É a equação de Schrödinger independente do tempo, que é o autovalor do Hamiltoniano
Aqui:
-
é o operador Hamiltoniano. -
é a função de onda (autovetor). -
é o autovalor, i.e., a energia permitida do sistema.
Passo 5
O que podemos obter a partir de uma equação de autovalores
- Valores permitidos da grandeza física (os
ou ). - Estados estacionários (os autovetores
). - Probabilidades de transição e os modos de oscilação do sistema.
Tudo isso fundamenta previsões de resultados de medidas e dinâmicas quânticas.
Resposta
(a) Uma equação de autovalores é
, onde
é operador,
é autovetor e
é autovalor.
(b) Na mecânica quântica, mede-se observáveis representados por operadores, e seus resultados possíveis são justamente os autovalores; os autovetores são estados de valor bem definido.
© A equação mais importante é .\
(d) A partir dela obtemos as energias permitidas ( ) e os estados estacionários (
), além de probabilidades e previsões de comportamento quântico.
(b) Na mecânica quântica, mede-se observáveis representados por operadores, e seus resultados possíveis são justamente os autovalores; os autovetores são estados de valor bem definido.
© A equação mais importante é
(d) A partir dela obtemos as energias permitidas (