(a) Explique o quê é uma equação de autovalores. (b) Qual é a importancia dessa equação na mecânica quantica. © Escreva a equação de autovalores mais importante da Física Quântica. (d) Que podemos obter a partir de uma equação de autovalores.
Explique o quê é uma equação de autovalores.

Passo 1

O exercício tem quatro partes:
(a) explicar o que é uma equação de autovalores;
(b) dizer por que ela é importante na mecânica quântica;
© escrever a equação de autovalores mais importante da Física Quântica;
(d) dizer o que podemos obter a partir de uma equação de autovalores.
Conteúdo: álgebra linear (operadores, autovalores e autovetores) e mecânica quântica (postulados de medição e equação de Schrödinger).
Vamos precisar entender o que é um operador linear e como ele gera um autovalor e um autovetor.

Passo 2

Definindo a equação de autovalores
Num contexto de álgebra linear, você tem um operador (ou matriz) A,v = lambda,v que age num vetor . Dizemos que
é uma equação de autovalores quando existe algum número (o autovalor) e um vetor não nulo (o autovetor) que satisfaz isso.
Em palavras: aplicar em só “esticou” (ou “esticou e inverteu”) , sem mudar sua direção, e o fator de “esticada” é .

Passo 3

Importância na mecânica quântica
Na mecânica quântica, cada observável (energia, posição, momento etc.) vira um operador . O postulado de medição diz:
  • Quando você mede esse observável, o sistema “colapsa” num autovetor de .
  • O valor que você obtém na medida só pode ser um autovalor de .
Ou seja, saber a equação de autovalores de um operador te dá todos os resultados possíveis daquela medida e os estados associados a eles.

Passo 4

A equação de autovalores mais importante da Física Quântica
É a equação de Schrödinger independente do tempo, que é o autovalor do Hamiltoniano hat H,psi = E,psi (energia total):
Aqui:
  • é o operador Hamiltoniano.
  • é a função de onda (autovetor).
  • é o autovalor, i.e., a energia permitida do sistema.

Passo 5

O que podemos obter a partir de uma equação de autovalores
  1. Valores permitidos da grandeza física (os ou ).
  2. Estados estacionários (os autovetores ).
  3. Probabilidades de transição e os modos de oscilação do sistema.
    Tudo isso fundamenta previsões de resultados de medidas e dinâmicas quânticas.

Resposta

(a) Uma equação de autovalores é , onde é operador, é autovetor e é autovalor.
(b) Na mecânica quântica, mede-se observáveis representados por operadores, e seus resultados possíveis são justamente os autovalores; os autovetores são estados de valor bem definido.
© A equação mais importante é .\
(d) A partir dela obtemos as energias permitidas ( ) e os estados estacionários ( ), além de probabilidades e previsões de comportamento quântico.

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