(a) Verifique que a função de onda
Psi(x, t)=cc A sen 2 pi xa e^-i E t / hbar & -a / 2+a / 2
é uma solução para a equação de Schroedinger na região -a / 2, para uma partícula que se move livremente nessa região, mas que está confinada a ela. (b) Normalize a função de onda, ajustando o valor da constante multiplicativa A de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum ponto do espaço seja um. © Calcule o valor esperado de x, e o valor esperado de x^2, para a partícula associada à função de onda. (d) Calcule o valor esperado de p, e o valor esperado de p^2, para a partícula associada à função de onda. (e) Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado. Use De e De como as incertezas De e De. O princípio de incerteza é cumprido?
Verifique que a função de onda
Psi(x, t)=cc A sen 2 pi xa e^-i E t / hbar & -a / 2+a / 2
é uma solução para a equação de Schroedinger na região -a / 2, para uma partícula que se move livremente nessa região, mas que está confinada a ela.

Passo 1

Beleza, mano! Vamos analisar um “partícula no poço infinito” de largura Psi(x,t)= A,sin!l(tfrac2pi xar),e^-iEt/hbar, & -tfrac a2, com
Conteúdo: mecânica quântica (equação de Schrödinger, operadores de posição e momento, incerteza).
O que vamos usar:
  • Equação de Schrödinger dependente do tempo com dentro do poço,
  • Normalização ( ),
  • Definições de valor esperado e ,
  • Operador ,
  • Fórmula de incerteza , idem para .

Passo 2

Verificação da equação de Schrödinger
A E.T. independente do tempo, dentro do poço, é
ihbarpartialPsipartial t =-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2
Lado esquerdo:
ihbar,partialpartial t l[Asin!l(tfrac2pi xar)e^-iEt/hbarr] =E,Psi
Lado direito: ao derivar -hbar^22ml[-(tfrac2pia)^2Psir] =2pi^2hbar^2m a^2,Psi duas vezes, vem um fator E=2pi^2hbar^2m a^2, , então
Para bater com o L.E. ( ), basta escolher
que é exatamente o nível do poço infinito. Pronto, é solução.

Passo 3

Normalização
Queremos A^2integral-a/2^a/2sin^2!l(tfrac2pi xar)dx =A^2a2=1 ;;Longrightarrow;; A=raiz2a . Como ,

Passo 4

e
. O integrando é ímpar ( é ímpar), então
.

Passo 5

lang<= p^2rang<==2mE =2m2pi^2hbar^2m a^2 =4pi^2hbar^2a^2 e
(estado estacionário com paridade definida).
.
Mas pela E.S. , então

Passo 6

Incertezas e produto
De
Produto:
Logo, o princípio da incerteza está satisfeito.

Resposta

A constante de normalização é
A=raiz2a
Valores esperados:
Dehbar2, ,
,
,

Produto das incertezas:
confirmando o princípio da incerteza de Heisenberg.

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