Explique por que a expressão
é considerada uma quantidade pivotal quando
é conhecido, mas deixa de ser pivotal se
for desconhecido. O que define, matematicamente, se uma função é uma quantidade pivotal?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se entender por que a quantidade
é considerada uma quantidade pivotal quando
é conhecida e deixa de sê-lo quando
é desconhecida.
- Informação implícita que vou usar (comum nesses contextos):
são amostras i.i.d. de uma população com média e desvio-padrão . Para argumentos exatos normalmente assume-se ; para grandes a aproximação da CLT também serve. - Perguntas a responder claramente:
- Por que, quando
é conhecida, é uma quantidade pivotal? - Por que, quando
é desconhecida, deixa de ser (na prática) uma quantidade pivotal? - Qual é a definição matemática precisa de “quantidade pivotal”?
- Por que, quando
Passo 2
Definição matemática e intuição do que é uma quantidade pivotal (a parte teórica que vamos usar).
- Definição: uma função
(onde é a amostra e denota os parâmetros desconhecidos) é dita quantidade pivotal se a distribuição de não depende de . Em símbolos: existe uma função de distribuição tal que, para todo no espaço de parâmetros,
- Intuição prática: um pivot é uma combinação de dados e parâmetros cujo comportamento probabilístico é conhecido e “fixo” (independente dos valores desconhecidos). Isso é muito útil para construir intervalos de confiança porque permite inverter desigualdades com uma distribuição conhecida.
Passo 3
Distribuição de
(fórmula que vamos precisar).
- Se
são i.i.d. com média e variância , então a média amostral
tem média
e variância
.
- Se, além disso,
, então
(Se
não são normais, para
grande a CLT dá
aproximadamente.)
Passo 4
Cálculo da distribuição de
quando
é conhecida.
- Definindo
e usando
, fazemos a padronização clássica: subtrai-se a média
e divide-se pelo desvio-padrão
. O resultado é
- Observação crucial: a distribuição
não contém nem . Assim, a lei de probabilidade de é conhecida e não depende de parâmetros desconhecidos.
Passo 5
Concluir por que, no caso
conhecido,
é uma quantidade pivotal.
- Pelo item anterior, a distribuição de
é exatamente e, portanto, independe dos parâmetros e . Isso satisfaz a definição: é uma função da amostra e dos parâmetros cuja distribuição não depende dos parâmetros. Logo é pivot. - Comentário prático (motivação): Como o pivot tem distribuição fixa, podemos escrever eventos do tipo
e inverter para obter um intervalo de confiança para
explicitamente em termos dos dados quando
é conhecido.
Passo 6
O que muda se
for desconhecido — dois sentidos diferentes do enunciado que é importante separar.
- Sentido 1 (matemático-puro): se eu olhar só para a expressão simbólica
como função de , a distribuição teórica dessa variável continua sendo independentemente de conhecermos numericamente ou não. Na definição formal de pivot isso ainda seria uma função cujo distribuição não depende dos parâmetros. - Sentido 2 (prático, que é quase sempre o que importa em inferência): uma quantidade pivotal útil deve ser avaliável com os dados observados sem depender de parâmetros desconhecidos não observáveis. Se
é desconhecido, a expressão envolve não observado e, portanto, não pode ser calculada a partir da amostra; isso elimina sua utilidade prática para construir intervalos de confiança diretos. Por isso muitas vezes se diz que “deixa de ser pivotal” quando se quer dizer “deixa de ser útil/observável como pivot”.
Passo 7
O que se faz na prática quando
é desconhecido: o uso do estimador
e o pivô
.
- Define-se a variância amostral corrigida
- A estatística substituta é
- Teorema (caso normal): se
então tem distribuição de Student com graus de liberdade, isto é . A razão: é Normal padrão e é independente da Normal; a razão Normal/raiz-chi-quadrado dá a t de Student. - Conclusão prática:
é um pivot observável (porque usa , que depende só nos dados) e sua distribuição não contém nem ; por isso é o pivot adequado quando é desconhecido.
Passo 8
Resumo das distinções e resposta direta às perguntas do enunciado.
- Por que
é pivotal quando é conhecida? Porque então é uma função dos dados e de constantes conhecidas cuja distribuição é , independentemente dos parâmetros desconhecidos; isso satisfaz a definição de pivot. - Por que
deixa de ser pivotal quando é desconhecida (no sentido útil)? Porque a expressão contém não observado e, portanto, não é diretamente avaliável a partir dos dados; para inferência prática substitui-se por e passa-se a usar , que é pivot (tem distribuição livre de parâmetros). - Observação final: a propriedade formal de ser pivot é sobre a independência da distribuição em relação a parâmetros; a questão prática adicional é que o pivot também deve ser calculável a partir da amostra para ser útil em construção de intervalos.
Passo 9
Exemplos rápidos para fixar a ideia (bem didático):
- Exemplo 1 (caso clássico):
com conhecido. Então
é pivot e pode ser usado diretamente.
- Exemplo 2 (caso prático):
desconhecido. Substituir por e usar
que é pivot observável.
Resposta
- Quando
é conhecido, é uma quantidade pivotal porque, sob a hipótese (ou por CLT para grande ), tem distribuição que não depende de parâmetros desconhecidos. - Quando
é desconhecido, a expressão com não observado não é diretamente avaliável a partir dos dados (logo, na prática, deixa de ser um pivot útil); em vez disso usa-se que tem distribuição e é um pivot observável. - Matemática: uma função
é pivotal se a distribuição de não depende de , i.e.
com
independentemente de
.