Explique por que a expressão Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} é considerada uma quantidade pivotal quando \sigma é conhecido, mas deixa de ser pivotal se \sigma for desconhecido. O que define, matematicamente, se uma função é uma quantidade pivotal?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se entender por que a quantidade
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
é considerada uma quantidade pivotal quando \sigma é conhecida e deixa de sê-lo quando \sigma é desconhecida.
  • Informação implícita que vou usar (comum nesses contextos): X_1,\dots,X_n são amostras i.i.d. de uma população com média \mu e desvio-padrão \sigma. Para argumentos exatos normalmente assume-se X_i\sim N(\mu,\sigma^2); para grandes n a aproximação da CLT também serve.
  • Perguntas a responder claramente:
    1. Por que, quando \sigma é conhecida, Z é uma quantidade pivotal?
    2. Por que, quando \sigma é desconhecida, Z deixa de ser (na prática) uma quantidade pivotal?
    3. Qual é a definição matemática precisa de “quantidade pivotal”?

Passo 2

Definição matemática e intuição do que é uma quantidade pivotal (a parte teórica que vamos usar).
  • Definição: uma função Q(X,\theta) (onde X é a amostra e \theta denota os parâmetros desconhecidos) é dita quantidade pivotal se a distribuição de Q(X,\theta) não depende de \theta. Em símbolos: existe uma função de distribuição F tal que, para todo \theta no espaço de parâmetros,
\mathbb{P}_\theta\big(Q(X,\theta)\le t\big)=F(t)\quad\text{para todo }t.
  • Intuição prática: um pivot é uma combinação de dados e parâmetros cujo comportamento probabilístico é conhecido e “fixo” (independente dos valores desconhecidos). Isso é muito útil para construir intervalos de confiança porque permite inverter desigualdades com uma distribuição conhecida.

Passo 3

Distribuição de \bar{X} (fórmula que vamos precisar).
  • Se X_1,\dots,X_n são i.i.d. com média \mu e variância \sigma^2, então a média amostral
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
tem média \mathbb{E}(\bar{X})=\mu e variância \mathrm{Var}(\bar{X})=\sigma^2/n.
  • Se, além disso, X_i\sim N(\mu,\sigma^2), então
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
(Se X_i não são normais, para n grande a CLT dá \bar{X}\approx N(\mu,\sigma^2/n) aproximadamente.)

Passo 4

Cálculo da distribuição de Z quando \sigma é conhecida.
  • Definindo
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},
e usando \bar{X}\sim N\!\left(\mu,\sigma^2/n\right), fazemos a padronização clássica: subtrai-se a média \mu e divide-se pelo desvio-padrão \sigma/\sqrt{n}. O resultado é
Z\sim N(0,1).
  • Observação crucial: a distribuição N(0,1) não contém \mu nem \sigma. Assim, a lei de probabilidade de Z é conhecida e não depende de parâmetros desconhecidos.

Passo 5

Concluir por que, no caso \sigma conhecido, Z é uma quantidade pivotal.
  • Pelo item anterior, a distribuição de Z é exatamente N(0,1) e, portanto, independe dos parâmetros \mu e \sigma. Isso satisfaz a definição: Z é uma função da amostra e dos parâmetros cuja distribuição não depende dos parâmetros. Logo Z é pivot.
  • Comentário prático (motivação): Como o pivot tem distribuição fixa, podemos escrever eventos do tipo
\mathbb{P}\big( z_{\alpha/2}\le Z \le z_{1-\alpha/2}\big)=1-\alpha
e inverter para obter um intervalo de confiança para \mu explicitamente em termos dos dados quando \sigma é conhecido.

Passo 6

O que muda se \sigma for desconhecido — dois sentidos diferentes do enunciado que é importante separar.
  • Sentido 1 (matemático-puro): se eu olhar só para a expressão simbólica Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}) como função de X,\mu,\sigma, a distribuição teórica dessa variável continua sendo N(0,1) independentemente de conhecermos numericamente \sigma ou não. Na definição formal de pivot isso ainda seria uma função cujo distribuição não depende dos parâmetros.
  • Sentido 2 (prático, que é quase sempre o que importa em inferência): uma quantidade pivotal útil deve ser avaliável com os dados observados sem depender de parâmetros desconhecidos não observáveis. Se \sigma é desconhecido, a expressão Z envolve \sigma não observado e, portanto, não pode ser calculada a partir da amostra; isso elimina sua utilidade prática para construir intervalos de confiança diretos. Por isso muitas vezes se diz que “deixa de ser pivotal” quando se quer dizer “deixa de ser útil/observável como pivot”.

Passo 7

O que se faz na prática quando \sigma é desconhecido: o uso do estimador S e o pivô T.
  • Define-se a variância amostral corrigida
S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2.
  • A estatística substituta é
T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}.
  • Teorema (caso normal): se X_i\sim N(\mu,\sigma^2) então T tem distribuição de Student com n-1 graus de liberdade, isto é T\sim t_{n-1}. A razão: (\bar{X}-\mu)/( \sigma/\sqrt{n}) é Normal padrão e (n-1)S^2/\sigma^2 é \chi^2_{n-1} independente da Normal; a razão Normal/raiz-chi-quadrado dá a t de Student.
  • Conclusão prática: T é um pivot observável (porque usa S, que depende só nos dados) e sua distribuição não contém \mu nem \sigma; por isso T é o pivot adequado quando \sigma é desconhecido.

Passo 8

Resumo das distinções e resposta direta às perguntas do enunciado.
  • Por que Z é pivotal quando \sigma é conhecida? Porque então Z é uma função dos dados e de constantes conhecidas cuja distribuição é \,N(0,1), independentemente dos parâmetros desconhecidos; isso satisfaz a definição de pivot.
  • Por que Z deixa de ser pivotal quando \sigma é desconhecida (no sentido útil)? Porque a expressão contém \sigma não observado e, portanto, não é diretamente avaliável a partir dos dados; para inferência prática substitui-se \sigma por S e passa-se a usar T, que é pivot (tem distribuição t_{n-1} livre de parâmetros).
  • Observação final: a propriedade formal de ser pivot é sobre a independência da distribuição em relação a parâmetros; a questão prática adicional é que o pivot também deve ser calculável a partir da amostra para ser útil em construção de intervalos.

Passo 9

Exemplos rápidos para fixar a ideia (bem didático):
  • Exemplo 1 (caso clássico): X_i\sim N(\mu,1) com \sigma=1 conhecido. Então
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{1/\sqrt{n}}\sim N(0,1)
é pivot e pode ser usado diretamente.
  • Exemplo 2 (caso prático): \sigma desconhecido. Substituir por S e usar
T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}
que é pivot observável.

Resposta

  • Quando \sigma é conhecido, Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} é uma quantidade pivotal porque, sob a hipótese X_i\sim N(\mu,\sigma^2) (ou por CLT para grande n), tem distribuição \,N(0,1) que não depende de parâmetros desconhecidos.
  • Quando \sigma é desconhecido, a expressão com \sigma não observado não é diretamente avaliável a partir dos dados (logo, na prática, deixa de ser um pivot útil); em vez disso usa-se T=(\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n}) que tem distribuição t_{n-1} e é um pivot observável.
  • Matemática: uma função Q(X,\theta) é pivotal se a distribuição de Q(X,\theta) não depende de \theta, i.e.
\mathbb{P}_\theta\big(Q(X,\theta)\le t\big)=F(t)\quad\text{para todo }\theta,
com F independentemente de \theta.

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