Descreva o efeito na amplitude (largura) do intervalo de confiança para a média quando:
(c) A variabilidade dos dados (desvio padrão) aumenta.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança para a média quando a variabilidade dos dados (desvio padrão) aumenta.
Informações relevantes (gerais, não numéricas): o intervalo de confiança para a média depende do desvio padrão (ou estimativa dele), do tamanho da amostra e do valor crítico associado ao nível de confiança. Nada mais foi fornecido, portanto a explicação será em termos gerais e com fórmulas.

Passo 2

Fórmula do intervalo de confiança para a média (caso mais usado, sigma desconhecido):
O intervalo de confiança para a média é dado por
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (valor central do intervalo);
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade associado ao nível de confiança (número positivo, fixo se o nível de confiança e n são fixos);
  • s é o desvio-padrão amostral (estimativa da variabilidade dos dados);
  • n é o tamanho da amostra;
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar de amostra para amostra).
Explicação curta de cada componente para ficar claro: o termo multiplicado por t_{\alpha/2,\;n-1} mede a incerteza da média por causa da variabilidade dos dados e do tamanho da amostra; o valor crítico t_{\alpha/2,\;n-1} fixa quanto queremos cobrir da distribuição para o nível de confiança escolhido.

Passo 3

Definir amplitude (largura) do intervalo: a amplitude total (comprimento) do intervalo é duas vezes o erro (do lado positivo ao negativo). Chamando E a margem de erro,
E = t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
e a largura total L é
L = 2E = 2\,t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Portanto a largura L é diretamente proporcional ao desvio-padrão s quando t_{\alpha/2,\;n-1} e n são fixos.

Passo 4

Consequência matemática direta: se o desvio-padrão aumenta, a largura aumenta na mesma proporção. Formalmente, se s aumenta para s', mantendo n e o nível de confiança fixos, então
L' = 2\,t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s'}{\sqrt{n}} = \frac{s'}{s}\,L.
Ou seja, a nova largura L' é \dfrac{s'}{s} vezes a largura antiga L. Se o desvio-padrão dobrar ( s' = 2s), a largura do intervalo dobra.

Passo 5

Intuição limpa e prática: o desvio-padrão mede dispersão dos dados. Quanto mais espalhados os dados, mais incerta é a estimativa da média a partir de uma amostra, então o intervalo precisa ser maior para manter o mesmo nível de confiança. Em outras palavras: mais variabilidade → menos precisão da média → intervalo mais largo.

Passo 6

Exemplo numérico simples (para ajudar a fixar, sem calculadora complicada): suponha n=25 e nível de confiança tal que t_{\alpha/2,\;24}\approx 2 (valor aproximado para facilitar entendimento). Se s=2,
E \approx 2\cdot\frac{2}{\sqrt{25}} = 2\cdot\frac{2}{5} = 0,8,
largura L\approx 1,6. Se a variabilidade dobra para s'=4,
E' \approx 2\cdot\frac{4}{5}=1,6,
largura L'\approx 3,2. Percebeu? Dobrar s dobrou a largura do intervalo.

Passo 7

Dica útil para a prova: se quiser manter a mesma largura L quando s aumenta para s', é necessário aumentar n. Da fórmula de E obtém-se que, para manter E fixo,
n' = n\left(\frac{s'}{s}\right)^{2}.
Ou seja, o tamanho da amostra precisa crescer com o quadrado da razão dos desvios-padrão. Ex.: se o desvio aumenta em 50\% ( s'/s=1{,}5), então n' deve ser cerca de 1{,}5^{2}=2{,}25 vezes maior.

Resposta

A largura do intervalo de confiança aumenta quando a variabilidade (desvio-padrão) aumenta. Especificamente, a largura total é
L=2\,t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
logo, mantendo n e o nível de confiança fixos, L cresce proporcionalmente a s. Para manter a mesma largura quando s aumenta para s' é preciso aumentar n segundo n'=n\left(\dfrac{s'}{s}\right)^{2}.

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