Descreva o efeito na amplitude (largura) do intervalo de confiança para a média quando:
(c) A variabilidade dos dados (desvio padrão) aumenta.
(c) A variabilidade dos dados (desvio padrão) aumenta.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar o que acontece com a amplitude (largura) do intervalo de confiança para a média quando a variabilidade dos dados (desvio padrão) aumenta.
Informações relevantes (gerais, não numéricas): o intervalo de confiança para a média depende do desvio padrão (ou estimativa dele), do tamanho da amostra e do valor crítico associado ao nível de confiança. Nada mais foi fornecido, portanto a explicação será em termos gerais e com fórmulas.
Informações relevantes (gerais, não numéricas): o intervalo de confiança para a média depende do desvio padrão (ou estimativa dele), do tamanho da amostra e do valor crítico associado ao nível de confiança. Nada mais foi fornecido, portanto a explicação será em termos gerais e com fórmulas.
Passo 2
Fórmula do intervalo de confiança para a média (caso mais usado, sigma desconhecido):
O intervalo de confiança para a média é dado por
O intervalo de confiança para a média é dado por
onde:
-
é a média amostral (valor central do intervalo); -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade associado ao nível de confiança (número positivo, fixo se o nível de confiança e são fixos); -
é o desvio-padrão amostral (estimativa da variabilidade dos dados); -
é o tamanho da amostra; -
é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar de amostra para amostra).
Explicação curta de cada componente para ficar claro: o termo multiplicado por
mede a incerteza da média por causa da variabilidade dos dados e do tamanho da amostra; o valor crítico
fixa quanto queremos cobrir da distribuição para o nível de confiança escolhido.
Passo 3
Definir amplitude (largura) do intervalo: a amplitude total (comprimento) do intervalo é duas vezes o erro (do lado positivo ao negativo). Chamando
a margem de erro,
e a largura total
é
Portanto a largura
é diretamente proporcional ao desvio-padrão
quando
e
são fixos.
Passo 4
Consequência matemática direta: se o desvio-padrão aumenta, a largura aumenta na mesma proporção. Formalmente, se
aumenta para
, mantendo
e o nível de confiança fixos, então
Ou seja, a nova largura
é
vezes a largura antiga
. Se o desvio-padrão dobrar (
), a largura do intervalo dobra.
Passo 5
Intuição limpa e prática: o desvio-padrão mede dispersão dos dados. Quanto mais espalhados os dados, mais incerta é a estimativa da média a partir de uma amostra, então o intervalo precisa ser maior para manter o mesmo nível de confiança. Em outras palavras: mais variabilidade → menos precisão da média → intervalo mais largo.
Passo 6
Exemplo numérico simples (para ajudar a fixar, sem calculadora complicada): suponha
e nível de confiança tal que
(valor aproximado para facilitar entendimento). Se
,
largura
. Se a variabilidade dobra para
,
largura
. Percebeu? Dobrar
dobrou a largura do intervalo.
Passo 7
Dica útil para a prova: se quiser manter a mesma largura
quando
aumenta para
, é necessário aumentar
. Da fórmula de
obtém-se que, para manter
fixo,
Ou seja, o tamanho da amostra precisa crescer com o quadrado da razão dos desvios-padrão. Ex.: se o desvio aumenta em
(
), então
deve ser cerca de
vezes maior.
Resposta
A largura do intervalo de confiança aumenta quando a variabilidade (desvio-padrão) aumenta. Especificamente, a largura total é
logo, mantendo
e o nível de confiança fixos,
cresce proporcionalmente a
. Para manter a mesma largura quando
aumenta para
é preciso aumentar
segundo
.