Uma máquina de envase de refrigerantes está configurada para operar com um desvio padrão populacional conhecido de 0,05 litros. Uma amostra de 16 garrafas apresentou média 1,98 litros. Assumindo normalidade, determine o IC de 95 \% para a média real de envase.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Desvio padrão populacional conhecido: \sigma=0,05\\ \text{L}.
  • Tamanho da amostra: n=16.
  • Média amostral: \bar{x}=1,98\\ \text{L}.
  • Pressuposto: distribuição normal dos envases.
  • O enunciado pede: determinar o intervalo de confiança de 95\% para a média real do envase.

Passo 2

Fórmula do intervalo de confiança quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido.
  • Quando \sigma é conhecido e a amostra vem de uma população normal (ou n grande), o IC de nível 1-\alpha para a média \mu é dado por:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Explicando cada símbolo:
    • \bar{x} é a média amostral (a estimativa central).
    • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a área central entre -z_{\alpha/2} e +z_{\alpha/2} é 1-\alpha.
    • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido.
    • n é o tamanho da amostra.
    • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média: mede a variabilidade esperada da média amostral em torno da média verdadeira.

Passo 3

Escolher z_{\alpha/2} para 95\%.
  • Para 95\% de confiança temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
  • O valor crítico da Normal padrão correspondente a \alpha/2=0,025 é
z_{0,025}=1,96.
(Isto vem da tabela da Normal padrão: a área à direita de 1,96 é 0,025, logo a área central é 0,95.)

Passo 4

Calcular o erro padrão da média.
  • Fórmula: \displaystyle \text{erro padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}ã.
  • Substituindo os números:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,05}{\sqrt{16}}=\frac{0,05}{4}=0,0125\\ \text{L}.
  • Interpretação: em média, a média amostral varia cerca de 0,0125\\ \text{L} em torno da média verdadeira devido à variação amostral.

Passo 5

Calcular a margem de erro (meia-amplitude do intervalo).
  • Fórmula: E=z_{\alpha/2}\cdot erro padrão.
  • Substituindo:
E=1,96\times0,0125.
  • Cálculo detalhado:
    • 1,96\times0,01=0,0196.
    • 1,96\times0,0025=0,0049.
    • Somando: 0,0196+0,0049=0,0245.
  • Portanto E=0,0245\\ \text{L}.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança somando/subtraindo a margem à média amostral.
  • Limite inferior:
\bar{x}-E=1,98-0,0245=1,9555\\ \text{L}.
  • Limite superior:
\bar{x}+E=1,98+0,0245=2,0045\\ \text{L}.
  • Interpretação em palavras: com 95\% de confiança, a média real de envase está entre aproximadamente 1,9555\\ \text{L} e 2,0045\\ \text{L}.

Resposta

\displaystyle [1,9555\\ \text{L},\\\ 2,0045\\ \text{L}]

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