Explique as fases de isolamento e refinamento no método da bissecção.
Aplique 3 iterações da bissecção para
em
. Apresente uma tabela com os resultados.
Aplique 3 iterações da bissecção para
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: explicar as fases de isolamento e refinamento no método da bissecção e, na prática, aplicar 3 iterações da bissecção à função
no intervalo inicial
. Dados fornecidos que vamos usar: a função
, o intervalo inicial
e o número de iterações a executar (3). Não há outras informações a pedir — vamos em frente.
Passo 2
Explicação didática da fase de isolamento (o que é e por que é feita).
- Objetivo da fase de isolamento: encontrar um intervalo
tal que a função mude de sinal em suas extremidades, ou seja, . Quando isso acontece, pelo Teorema do Valor Intermediário sabemos que existe ao menos uma raiz real em (isto é, um ponto com ). - Por que isto é útil na prova: antes de tentar aproximar uma raiz, precisamos ter certeza de que há uma raiz naquele intervalo; a condição
é a ferramenta simples para isso. - Como verificar na prova (passo a passo): calcule
e . Se os sinais forem opostos (um positivo e outro negativo), então o intervalo isola pelo menos uma raiz. Se os sinais forem iguais, procure outro intervalo ou divida o intervalo inicial para testar subintervalos. - Exemplo rápido (genérico): se
e , então , logo há uma raiz em .
Passo 3
Explicação didática da fase de refinamento (bissecção propriamente dita).
- Ideia principal: repetidamente dividir o intervalo isolante ao meio e escolher o subintervalo onde a função ainda muda de sinal, encurtando assim o intervalo que contém a raiz.
- Fórmula do ponto médio: dado um intervalo
, o ponto médio é . - Regra de decisão: calcule
. Se então a raiz está em ; senão, se então a raiz está em . (Se — caso raro em provas — então é a raiz exata.) - Critério de parada: pare quando o comprimento do intervalo
fica menor que uma tolerância desejada ou quando se atingir um número fixo de iterações. - Estimativa do erro: após
iterações o comprimento do intervalo é . Se usamos o ponto médio desse intervalo como aproximação, o erro máximo da aproximação satisfaz
Isso é útil para dizer “depois de tantas iterações estou garantido a tal precisão”.
Passo 4
Aplicando a fase de isolamento ao problema: verificar os sinais em
.
- Calcular
:
Então
.
- Calcular
:
Então
.
- Conclusão da fase de isolamento: como
, existe pelo menos uma raiz em . Podemos proceder ao refinamento (bissecção).
Passo 5
Iteração 1 (primeira aplicação da bissecção):
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliar
:
(Aqui usei a vírgula decimal como pediste:
e
.)
- Decisão:
e . Como , a raiz está em . - Novo intervalo após iteração 1:
.
Passo 6
Iteração 2 (segunda bissecção):
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliar
:
- Decisão:
e . Como , a raiz está em . - Novo intervalo após iteração 2:
.
Passo 7
Iteração 3 (terceira bissecção):
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliar
:
-
Decisão:
e . Como , a raiz está em . -
Novo intervalo após iteração 3:
. -
Aproximação pelo ponto médio do intervalo atual (útil como resposta numérica):
Se quisermos avaliar
nesse ponto:
Isso confirma que
e a raiz permanece no intervalo onde há mudança de sinal.
- Estimativa de erro após 3 iterações: comprimento inicial
. Após 3 iterações o comprimento do intervalo é . Se usamos o ponto médio como aproximação, o erro máximo garantido é
Passo 8
Tabela com os resultados das 3 iterações (cada número em formato decimal com vírgula). Colunas: iteração
,
,
,
,
,
, novo intervalo escolhido.
(Observação: na linha 2 eu coloquei
porque o
daquela iteração é
.)
Passo 9
Resumo prático e dica de prova:
- Para fazer isso rápido na prova: verifique a mudança de sinal em
, calcule o ponto médio com , avalie nesse ponto, veja o sinal e escolha o subintervalo que mantém a mudança de sinal. Repita o número de vezes requerido. Lembre que a cada iteração o intervalo diminui pela metade, e o erro máximo diminui na mesma razão — isso permite afirmar garantias de precisão sem calcular demais. Força — você consegue fazer isso passo a passo na prova, devagar e sem pânico!
Resposta
Intervalo final após 3 iterações:
Aproximação pelo ponto médio após 3 iterações:
Aproximação pelo ponto médio após 3 iterações: