Explique as fases de isolamento e refinamento no método da bissecção.
Aplique 3 iterações da bissecção para f(x)=x^{3}-9 x+3 em [0,1]. Apresente uma tabela com os resultados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: explicar as fases de isolamento e refinamento no método da bissecção e, na prática, aplicar 3 iterações da bissecção à função f(x)=x^{3}-9x+3 no intervalo inicial [0,1]. Dados fornecidos que vamos usar: a função f, o intervalo inicial [0,1] e o número de iterações a executar (3). Não há outras informações a pedir — vamos em frente.

Passo 2

Explicação didática da fase de isolamento (o que é e por que é feita).
  • Objetivo da fase de isolamento: encontrar um intervalo [a,b] tal que a função mude de sinal em suas extremidades, ou seja, f(a)\cdot f(b)<0. Quando isso acontece, pelo Teorema do Valor Intermediário sabemos que existe ao menos uma raiz real \xi em [a,b] (isto é, um ponto com f(\xi)=0).
  • Por que isto é útil na prova: antes de tentar aproximar uma raiz, precisamos ter certeza de que há uma raiz naquele intervalo; a condição f(a)\cdot f(b)<0 é a ferramenta simples para isso.
  • Como verificar na prova (passo a passo): calcule f(a) e f(b). Se os sinais forem opostos (um positivo e outro negativo), então o intervalo isola pelo menos uma raiz. Se os sinais forem iguais, procure outro intervalo ou divida o intervalo inicial para testar subintervalos.
  • Exemplo rápido (genérico): se f(2)=4 e f(5)=-1, então f(2)\cdot f(5)=-4<0, logo há uma raiz em [2,5].

Passo 3

Explicação didática da fase de refinamento (bissecção propriamente dita).
  • Ideia principal: repetidamente dividir o intervalo isolante ao meio e escolher o subintervalo onde a função ainda muda de sinal, encurtando assim o intervalo que contém a raiz.
  • Fórmula do ponto médio: dado um intervalo [a,b], o ponto médio é m=\dfrac{a+b}{2}.
  • Regra de decisão: calcule f(m). Se f(a)\cdot f(m)<0 então a raiz está em [a,m]; senão, se f(m)\cdot f(b)<0 então a raiz está em [m,b]. (Se f(m)=0 — caso raro em provas — então m é a raiz exata.)
  • Critério de parada: pare quando o comprimento do intervalo (b-a) fica menor que uma tolerância desejada ou quando se atingir um número fixo de iterações.
  • Estimativa do erro: após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2^{n}}. Se usamos o ponto médio desse intervalo como aproximação, o erro máximo da aproximação satisfaz
\text{erro} \le \frac{b-a}{2^{\,n+1}}.
Isso é útil para dizer “depois de tantas iterações estou garantido a tal precisão”.

Passo 4

Aplicando a fase de isolamento ao problema: verificar os sinais em [0,1].
  • Calcular f(0):
f(0)=0^{3}-9\cdot 0+3=3.
Então f(0)=3>0.
  • Calcular f(1):
f(1)=1^{3}-9\cdot 1+3=1-9+3=-5.
Então f(1)=-5<0.
  • Conclusão da fase de isolamento: como f(0)\cdot f(1)=3\cdot(-5)=-15<0, existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Podemos proceder ao refinamento (bissecção).

Passo 5

Iteração 1 (primeira aplicação da bissecção):
  • Intervalo atual: [a,b]=[0,1].
  • Ponto médio:
m_{1}=\frac{0+1}{2}=0,5.
  • Avaliar f(m_{1}):
f(0,5)= (0,5)^{3}-9\cdot 0,5+3 = 0,125-4,5+3 = -1,375.
(Aqui usei a vírgula decimal como pediste: 0,5 e -1,375.)
  • Decisão: f(0)=3>0 e f(0,5)=-1,375<0. Como f(0)\cdot f(0,5)<0, a raiz está em [0,0,5].
  • Novo intervalo após iteração 1: [0,0,5].

Passo 6

Iteração 2 (segunda bissecção):
  • Intervalo atual: [a,b]=[0,0,5].
  • Ponto médio:
m_{2}=\frac{0+0,5}{2}=0,25.
  • Avaliar f(m_{2}):
f(0,25)=(0,25)^{3}-9\cdot 0,25+3 = 0,015625-2,25+3 = 0,765625.
  • Decisão: f(0,25)=0,765625>0 e f(0,5)=-1,375<0. Como f(0,25)\cdot f(0,5)<0, a raiz está em [0,25,0,5].
  • Novo intervalo após iteração 2: [0,25,0,5].

Passo 7

Iteração 3 (terceira bissecção):
  • Intervalo atual: [a,b]=[0,25,0,5].
  • Ponto médio:
m_{3}=\frac{0,25+0,5}{2}=0,375.
  • Avaliar f(m_{3}):
f(0,375)=(0,375)^{3}-9\cdot 0,375+3 = 0,052734375-3,375+3 = -0,322265625.
  • Decisão: f(0,25)=0,765625>0 e f(0,375)=-0,322265625<0. Como f(0,25)\cdot f(0,375)<0, a raiz está em [0,25,0,375].
  • Novo intervalo após iteração 3: [0,25,0,375].
  • Aproximação pelo ponto médio do intervalo atual (útil como resposta numérica):
\text{aprox} = \frac{0,25+0,375}{2}=0,3125.
Se quisermos avaliar f nesse ponto:
f(0,3125)=(0,3125)^{3}-9\cdot 0,3125+3 = 0,030517578125-2,8125+3 = 0,218017578125.
Isso confirma que f(0,3125)>0 e a raiz permanece no intervalo onde há mudança de sinal.
  • Estimativa de erro após 3 iterações: comprimento inicial b-a=1. Após 3 iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}=0,125. Se usamos o ponto médio como aproximação, o erro máximo garantido é
\text{erro} \le \frac{1}{2^{3+1}}=\frac{1}{16}=0,0625.

Passo 8

Tabela com os resultados das 3 iterações (cada número em formato decimal com vírgula). Colunas: iteração k, a, b, m, f(a), f(m), novo intervalo escolhido.
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \text{it} & a & b & m & f(a) & f(m) & \text{novo intervalo}\\hline 1 & 0 & 1 & 0,5 & 3 & -1,375 & [0,\;0,5]\\hline 2 & 0 & 0,5 & 0,25 & 3 & 0,765625 & [0,25,\;0,5]\\hline 3 & 0,25 & 0,5 & 0,375 & 0,765625 & -0,322265625 & [0,25,\;0,375] \end{array}
(Observação: na linha 2 eu coloquei f(a)=3 porque o a daquela iteração é 0.)

Passo 9

Resumo prático e dica de prova:
  • Para fazer isso rápido na prova: verifique a mudança de sinal em [a,b], calcule o ponto médio com \dfrac{a+b}{2}, avalie f nesse ponto, veja o sinal e escolha o subintervalo que mantém a mudança de sinal. Repita o número de vezes requerido. Lembre que a cada iteração o intervalo diminui pela metade, e o erro máximo diminui na mesma razão — isso permite afirmar garantias de precisão sem calcular demais. Força — você consegue fazer isso passo a passo na prova, devagar e sem pânico!

Resposta

Intervalo final após 3 iterações: [0,25,\;0,375]
Aproximação pelo ponto médio após 3 iterações: 0,3125

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