Para cada uma, partindo de x_{0}=1.5, execute 3 iterações e analise a convergência.
Para f(x)=x^{2}+x-6=0, considere \varphi_{1}(x)=6-x^{2} e \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: para cada uma das duas funções de iteração fixa, partindo de x_{0}=1{,}5, executar 3 iterações e analisar a convergência.
  • Dados:
    • A equação original é f(x)=x^{2}+x-6=0.
    • Duas funções de iteração fixa indicadas são:
      \varphi_{1}(x)=6-x^{2} e \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}.
    • Ponto inicial: x_{0}=1{,}5.
  • Resultado esperado: para cada \varphi fornecer x_{1},x_{2},x_{3} e comentar se a sequência converge para uma raiz (e qual) ou diverge.

Passo 2

Breve aula sobre o método de ponto fixo e critério de convergência (passo-a-passo didático):
  • Ideia do método: se conseguimos escrever a equação f(x)=0 na forma x=\varphi(x), então raízes de f são pontos fixos de \varphi (ou seja, x^*=\varphi(x^*)). A iteração fixa calcula
x_{n+1}=\varphi(x_n),
a partir de um x_0.
  • Critério prático de convergência (uma versão do teorema do ponto fixo de Banach, de forma intuitiva):
    • Se \varphi for contínua e derivável em um intervalo I que contém o ponto fixo e existir k<1 tal que |\varphi'(x)|\le k para todo x\in I, então a iteração converge para o ponto fixo para qualquer x_0\in I.
    • Assim, uma verificação simples: calcular \varphi'(x) e checar se seu valor absoluto é menor que 1 na região onde os iterados ficam.
  • Observação prática para a prova: antes de aplicar muitas iterações calcule \varphi'(x_0). Se |\varphi'(x_0)| for maior que 1, é sinal forte de que a iteração pode divergir; se for bem menor que 1, há grande chance de convergência rápida (contratação).
  • Erro aproximado: se |\varphi'(x^*)|\le k<1, o erro diminui geometricamente: |x_{n+1}-x^*|\le k|x_n-x^*| (útil para estimar número de iterações).

Passo 3

Análise e iterações para \varphi_{1}(x)=6-x^{2}:
  • Derivada:
\varphi_{1}'(x)=-2x.
  • Avaliação inicial do critério no ponto x_{0}=1{,}5:
\left|\varphi_{1}'(1{,}5)\right|=\left|-2\cdot 1{,}5\right|=3>1.
Comentário: como |\varphi_{1}'(1{,}5)|>1, esperamos que a iteração não seja um operador de contração nessa região e muito provavelmente diverja (ou oscile sem convergir).
  • Cálculo das 3 iterações (substituindo diretamente \varphi_{1}):
x_{1}=\varphi_{1}(x_{0})=6-(1{,}5)^{2}=6-2{,}25=3{,}75.
x_{2}=\varphi_{1}(x_{1})=6-(3{,}75)^{2}=6-14{,}0625=-8{,}0625.
x_{3}=\varphi_{1}(x_{2})=6-(-8{,}0625)^{2}=6-65{,}00390625=-59{,}00390625.
  • Verificação das derivadas nos pontos calculados (para ver o comportamento local):
\left|\varphi_{1}'(x_{1})\right|=\left|-2\cdot 3{,}75\right|=7{,}5,
\left|\varphi_{1}'(x_{2})\right|=\left|-2\cdot(-8{,}0625)\right|=16{,}125.
Comentário: as magnitudes das derivadas são cada vez maiores que 1, o que explica o crescimento rápido dos iterados em magnitude. Portanto a sequência afasta-se das raízes (diverge).

Passo 4

Análise e iterações para \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}:
  • Observação de domínio: \varphi_{2} exige 6-x\ge 0\Rightarrow x\le 6. Nosso x_{0}=1{,}5 está dentro do domínio, então podemos iterar.
  • Derivada (usando regra da cadeia; lembrando que usamos a raiz principal, resultado não-negativo):
\varphi_{2}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl( (6-x)^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}(6-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{6-x}}.
Logo o módulo da derivada é
\left|\varphi_{2}'(x)\right|=\frac{1}{2\sqrt{6-x}}.
  • Avaliação no ponto inicial x_{0}=1{,}5:
\left|\varphi_{2}'(1{,}5)\right|=\frac{1}{2\sqrt{6-1{,}5}}=\frac{1}{2\sqrt{4{,}5}}=\frac{1}{2\cdot 2{,}1213203436}\approx 0{,}2357<1.
Comentário: aqui |\varphi_{2}'(x_{0})| é bem menor que 1. Em particular, perto da raiz positiva x^{*}=2 temos |\varphi_{2}'(2)|=\tfrac{1}{2\sqrt{4}}=\tfrac{1}{4}=0{,}25. Assim, em uma vizinhança que contenha os iterados esperados a função é um contração e a iteração deve convergir para o ponto fixo x^{*}=2 (note que 2=\sqrt{6-2}).
  • Cálculo das 3 iterações:
x_{1}=\varphi_{2}(x_{0})=\sqrt{6-1{,}5}=\sqrt{4{,}5}\approx 2{,}1213203436.
x_{2}=\varphi_{2}(x_{1})=\sqrt{6-2{,}1213203436}=\sqrt{3{,}8786796564}\approx 1{,}9694367.
x_{3}=\varphi_{2}(x_{2})=\sqrt{6-1{,}9694367}=\sqrt{4{,}0305633}\approx 2{,}0076349.
  • Interpretação: os valores oscilam em torno de 2 (acima e abaixo) com amplitude decrescente; a derivada em módulo é menor que 1 na vizinhança, logo a sequência converge para x^{*}=2. A oscilação é comum quando \varphi'(x^{*}) é negativo ou quando a iteração passa de um lado para outro do ponto fixo; aqui \varphi_{2}' é negativo, por isso os sinais das diferenças com 2 alternam.

Passo 5

Resumo prático (o que levar para a prova):
  • Sempre calcule \varphi'(x_0) antes de gastar muito tempo com iterações; é um diagnóstico rápido de convergência local.
  • Verifique domínio de \varphi (como no caso da raiz quadrada).
  • Se |\varphi'(x)|<1 numa vizinhança, espere convergência (e se for pequeno, convergência rápida).
  • Se |\varphi'(x)|>1, a iteração tende a divergir.
  • Nos cálculos, mostre cada substituição (como fiz acima) e, se necessário, apresente alguns dígitos de precisão.

Resposta

\varphi_{1}:\;x_{1}=3{,}75,\;x_{2}=-8{,}0625,\;x_{3}=-59{,}00390625. Diverge (afasta-se das raízes).
\varphi_{2}:\;x_{1}\approx 2{,}1213203,\;x_{2}\approx 1{,}9694367,\;x_{3}\approx 2{,}0076349. Converge para x^{*}=2.

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