Para cada uma, partindo de x_{0}=1.5, execute 3 iterações e analise a convergência.
Para f(x)=x^{2}+x-6=0, considere \varphi_{1}(x)=6-x^{2} e \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pede: para cada uma das duas funções de iteração fixa, partindo de x_{0}=1{,}5, executar 3 iterações e analisar a convergência.
Dados:
A equação original é f(x)=x^{2}+x-6=0.
Duas funções de iteração fixa indicadas são: \varphi_{1}(x)=6-x^{2} e \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}.
Ponto inicial: x_{0}=1{,}5.
Resultado esperado: para cada \varphi fornecer x_{1},x_{2},x_{3} e comentar se a sequência converge para uma raiz (e qual) ou diverge.
Passo 2
Breve aula sobre o método de ponto fixo e critério de convergência (passo-a-passo didático):
Ideia do método: se conseguimos escrever a equação f(x)=0 na forma x=\varphi(x), então raízes de f são pontos fixos de \varphi (ou seja, x^*=\varphi(x^*)). A iteração fixa calcula
x_{n+1}=\varphi(x_n),
a partir de um x_0.
Critério prático de convergência (uma versão do teorema do ponto fixo de Banach, de forma intuitiva):
Se \varphi for contínua e derivável em um intervalo I que contém o ponto fixo e existir k<1 tal que |\varphi'(x)|\le k para todo x\in I, então a iteração converge para o ponto fixo para qualquer x_0\in I.
Assim, uma verificação simples: calcular \varphi'(x) e checar se seu valor absoluto é menor que 1 na região onde os iterados ficam.
Observação prática para a prova: antes de aplicar muitas iterações calcule \varphi'(x_0). Se |\varphi'(x_0)| for maior que 1, é sinal forte de que a iteração pode divergir; se for bem menor que 1, há grande chance de convergência rápida (contratação).
Erro aproximado: se |\varphi'(x^*)|\le k<1, o erro diminui geometricamente: |x_{n+1}-x^*|\le k|x_n-x^*| (útil para estimar número de iterações).
Passo 3
Análise e iterações para \varphi_{1}(x)=6-x^{2}:
Derivada:
\varphi_{1}'(x)=-2x.
Avaliação inicial do critério no ponto x_{0}=1{,}5:
Comentário: como |\varphi_{1}'(1{,}5)|>1, esperamos que a iteração não seja um operador de contração nessa região e muito provavelmente diverja (ou oscile sem convergir).
Cálculo das 3 iterações (substituindo diretamente \varphi_{1}):
Comentário: as magnitudes das derivadas são cada vez maiores que 1, o que explica o crescimento rápido dos iterados em magnitude. Portanto a sequência afasta-se das raízes (diverge).
Passo 4
Análise e iterações para \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}:
Observação de domínio: \varphi_{2} exige 6-x\ge 0\Rightarrow x\le 6. Nosso x_{0}=1{,}5 está dentro do domínio, então podemos iterar.
Derivada (usando regra da cadeia; lembrando que usamos a raiz principal, resultado não-negativo):
Comentário: aqui |\varphi_{2}'(x_{0})| é bem menor que 1. Em particular, perto da raiz positiva x^{*}=2 temos |\varphi_{2}'(2)|=\tfrac{1}{2\sqrt{4}}=\tfrac{1}{4}=0{,}25. Assim, em uma vizinhança que contenha os iterados esperados a função é um contração e a iteração deve convergir para o ponto fixo x^{*}=2 (note que 2=\sqrt{6-2}).
Interpretação: os valores oscilam em torno de 2 (acima e abaixo) com amplitude decrescente; a derivada em módulo é menor que 1 na vizinhança, logo a sequência converge para x^{*}=2. A oscilação é comum quando \varphi'(x^{*}) é negativo ou quando a iteração passa de um lado para outro do ponto fixo; aqui \varphi_{2}' é negativo, por isso os sinais das diferenças com 2 alternam.
Passo 5
Resumo prático (o que levar para a prova):
Sempre calcule \varphi'(x_0) antes de gastar muito tempo com iterações; é um diagnóstico rápido de convergência local.
Verifique domínio de \varphi (como no caso da raiz quadrada).
Se |\varphi'(x)|<1 numa vizinhança, espere convergência (e se for pequeno, convergência rápida).
Se |\varphi'(x)|>1, a iteração tende a divergir.
Nos cálculos, mostre cada substituição (como fiz acima) e, se necessário, apresente alguns dígitos de precisão.
Resposta
\varphi_{1}:\;x_{1}=3{,}75,\;x_{2}=-8{,}0625,\;x_{3}=-59{,}00390625. Diverge (afasta-se das raízes). \varphi_{2}:\;x_{1}\approx 2{,}1213203,\;x_{2}\approx 1{,}9694367,\;x_{3}\approx 2{,}0076349. Converge para x^{*}=2.