Para cada uma, partindo de x_{0}=1.5, execute 3 iterações e analise a convergência.
Enuncie o teorema de convergência do MPF e explique cada hipótese.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) “Para cada uma, partindo de x_{0}=1,5, execute 3 iterações e analise a convergência.” e (ii) “Enuncie o teorema de convergência do MPF e explique cada hipótese.”\n\nInformações dadas no enunciado: x_{0}=1,5.\n\nFalta no enunciado uma informação essencial para a primeira parte: as funções g (uma ou várias) para as quais devo aplicar a iteração do ponto fixo. Sem conhecer cada função g (ou a lista de funções) não há como calcular x_{1},x_{2},x_{3} nem analisar a convergência numérica específica. Portanto não posso executar as 3 iterações pedidas até que as funções sejam fornecidas. \n\nVou, no entanto, ensinar passo a passo como se faz a iteração do ponto fixo, como analisar a convergência (teoria e critérios práticos) e mostrar um exemplo concreto ilustrativo aplicando 3 iterações a uma função escolhida como exemplo (deixando claro que é um exemplo e não as funções que você não enviou). Assim, quando você me mandar as funções, vai saber exatamente o que fazer.
Passo 2
O que é a iteração do ponto fixo e como se calcula as iterações (o procedimento mecânico).\n\nDefinição e fórmula de iteração:\n\nSeja g uma função. A iteração do ponto fixo constrói a sequência\nx_{n+1}=g(x_n),\qquad n=0,1,2,\dots\n\nUm ponto \alpha é um ponto fixo de g se \displaystyle g(\alpha)=\alpha. O objetivo é que a sequência (x_n) converja para um \alpha tal que g(\alpha)=\alpha.\n\nComo executar 3 iterações na prática, passo a passo, a partir de x_0:\n\n1. Calcule x_1=g(x_0).\n2. Calcule x_2=g(x_1).\n3. Calcule x_3=g(x_2).\n\nDicas práticas para fazer isso à mão na prova:\n- Use \,x_0=1,5 (o que lhe deram). Substitua na fórmula de g e calcule com cuidado as operações básicas (somas, produtos, divisões, potências).\n- Arredonde só se for necessário; se arredondar, mantenha pelo menos 6–8 casas decimais intermediárias para não perder precisão.\n- Registre os valores x_0,x_1,x_2,x_3 e compare as diferenças |x_{n+1}-x_n| para avaliar se a sequência está se aproximando (diminuindo) ou não.\n\nAssim que você me passar a(s) função(ões) g, eu aplico exatamente estes 3 passos numéricos.
Passo 3
Enunciado formal do teorema de convergência do MPF (Teorema do ponto fixo para contrações — forma usual usada em métodos numéricos).\n\nTeorema (convergência do MPF / Teorema da Contração de Banach — versão para intervalos):\n\nSeja I=[a,b] um intervalo fechado de \mathbb{R}. Seja g:I\to I tal que g é contínua em I e g é diferenciável em \operatorname{int}(I). Suponha que exista uma constante L com 0\le L<1 tal que\n\max_{x\in I}\bigl|g'(x)\bigr| \le L.\n\nEntão existe um único ponto \alpha\in I com g(\alpha)=\alpha (unicidade do ponto fixo) e, para qualquer x_{0}\in I, a sequência definida por x_{n+1}=g(x_n) permanece em I e converge para \alpha. Além disso vale o erro de contração\n|x_{n+1}-\alpha|\le L\,|x_n-\alpha|
e, por iteração,
|x_n-\alpha|\le L^{\,n}\,|x_0-\alpha|.
Passo 4
Explicação detalhada do que cada hipótese do teorema significa (por que eu preciso verificá-las numa prova) — linguagem simples e exemplos intuitivos.\n\nHipótese 1: I=[a,b] é um intervalo fechado e g:I\to I (invariância do intervalo).\n- Significado prático: ao aplicar g a um ponto dentro do intervalo I você não sai de I. Isso garante que a sequência não vá para valores “fora do domínio” onde a hipótese não vale.\n- Como verificar: escolha um intervalo razoável que contenha a solução esperada (ou que você queira impor) e mostre que, para todo x\in I, g(x)\in I. Frequentemente você prova duas desigualdades a\le g(x)\le b para todo x\in I.\n- Problema se falhar: se g leva pontos para fora de I, não podemos usar o teorema global; a sequência pode divergir ou entrar numa região onde |g'| não tenha a propriedade desejada.\n\nHipótese 2: g é diferenciável em \operatorname{int}(I) e \max_{x\in I}|g'(x)|\le L<1 (condição de contração com constante L).\n- Significado prático: essa condição garante que g aproxima pontos: duas entradas próximas produzem saídas ainda mais próximas. Matematicamente, para todo x,y\in I, |g(x)-g(y)|\le L|x-y|.\n- Como verificar: calcule g'(x) explicitamente e obtenha um majorante L tal que |g'(x)|\le L para todos x\in I. É comum escolher I pequeno o suficiente para que o máximo do módulo da derivada fique abaixo de 1.\n- Por que L<1 é crucial: se L<1 a diferença entre termos sucessivos decai geometricamente; se L\ge1 não há garantia — e frequentemente há divergência ou comportamento oscilante.\n\nConsequências das hipóteses:\n- Unicidade do ponto fixo: a condição de contração impede que existam dois pontos fixos distintos, porque a desigualdade de contração contradizeria |\alpha-\beta| = |g(\alpha)-g(\beta)| \le L|\alpha-\beta| com L<1 se \alpha\ne\beta.\n- Convergência para qualquer x_0\in I: independente da escolha inicial dentro de I, a sequência é atraída geometricamente para \alpha.\n\nObservações práticas extras:\n- Em muitos problemas de prova você não consegue garantir \max_{x\in I}|g'(x)|<1 em todo um intervalo grande; então procura um intervalo menor ou usa um critério local: se existe um ponto fixo \alpha e |g'(\alpha)|<1, então há convergência local (para x_0 suficientemente próximo de \alpha).\n- Se |g'(\alpha)|>1 então a iteração irá, normalmente, divergir do ponto fixo (ele é instável). Se |g'(\alpha)|=1 a situação é delicada e não existe conclusão direta — precisa analisar termos mais altos da expansão de Taylor (caso raro em prova básica).\n- Sinal de g'(\alpha): se negativo, a sequência pode oscilar em volta do fixo; se positivo e menor que 1, aproxima monotonicamente numa região.
Passo 5
Demonstração rápida da desigualdade de erro e da unicidade (ideia curta e útil para provas):\n\nSe g satisfaz |g(x)-g(y)|\le L|x-y| para todo x,y\in I com L<1, então tomando y=\alpha (fixo) obtemos\n|x_{n+1}-\alpha| = |g(x_n)-g(\alpha)| \le L|x_n-\alpha|.\nIterando essa desigualdade obtem-se\n|x_n-\alpha|\le L^{\,n}|x_0-\alpha|,\nque prova a convergência geométrica. Para unicidade, se \alpha e \beta fossem dois pontos fixos distintos, então\n|\alpha-\beta| = |g(\alpha)-g(\beta)| \le L|\alpha-\beta|
o que força |\alpha-\beta|=0 porque L<1. Logo \alpha=\beta.
Passo 6
Checklist prático — como analisar a convergência na prova quando você tem uma função g:\n\n1. Identifique um intervalo I=[a,b] que contenha a raiz candidata (ou que pareça apropriado). \n2. Prove que g(I)\subset I (verifique a\le g(x)\le b para todo x\in I).\n3. Calcule g'(x) e encontre L=\max_{x\in I}|g'(x)|. Se puder provar L<1, então o teorema garante convergência para qualquer x_0\in I.\n4. Se não conseguir L<1 em um grande intervalo, tente restringir I ou use critério local: calcule g'(\alpha) no fixo estimado; se |g'(\alpha)|<1, então há convergência local (para x_0 suficientemente próximo).\n5. Após executar 3 iterações, verifique |x_{n+1}-x_n|: se estiverem decrescendo geometricamente você visualmente confirma convergência; se aumentarem, provavelmente diverge.\n6. Se desejar estimar o erro após n iterações, use |x_n-\alpha|\le \dfrac{L^{\,n}}{1-L}|x_1-x_0| (uma forma útil de estimativa a partir das diferenças entre termos sucessivos — veja derivação abaixo). Uma forma mais simples é usar |x_{n+1}-x_n| como estimativa do erro se L for pequeno.\n\nDerivação curta da estimativa com diferenças sucessivas (útil em provas):\n|x_n-\alpha| \le |x_n-x_{n-1}| + |x_{n-1}-x_{n-2}| + \dots + |x_1-x_0| \le (1+L+\dots+L^{\,n-1})|x_1-x_0| \le \frac{1}{1-L}|x_1-x_0|.
Multiplicando por L^{\,n} obtém-se uma versão com L^{\,n} à frente conforme necessário; há várias formas equivalentes de apresentar estimativas a posteriori.\n\nImportante: na prova, escreva claramente cada passo: escolha de I, verificação de g(I)\subset I, cálculo do supremo de |g'| e conclusão pelo teorema.
Passo 7
Exemplo ilustrativo (não é uma das funções pedidas no seu enunciado — é só para você ver na prática como executar 3 iterações a partir de x_0=1,5). Vou usar a iteração de Newton para \sqrt{2}, cujo mapa de iteração é\ng(x)=\frac{1}{2}\!\left(x+\frac{2}{x}\right).\n\nPasso a passo numérico (três iterações a partir de x_0=1,5):\n\n1. x_0=1,5.\n2. x_1=g(x_0)=\dfrac{1}{2}\!\left(1,5+\dfrac{2}{1,5}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1,5+1,\overline{3}\right)=1,416666667 (arredondando em 9 casas).\n3. x_2=g(x_1)=\dfrac{1}{2}\!\left(1,416666667+\dfrac{2}{1,416666667}\right)\approx 1,414215686.\n4. x_3=g(x_2)=\dfrac{1}{2}\!\left(1,414215686+\dfrac{2}{1,414215686}\right)\approx 1,414213562.\n\nAnálise da convergência do exemplo:\n- Observamos que x_n se aproxima rapidamente de \sqrt{2}\approx 1,414213562.\n- No caso desta g, a derivada é\ng'(x)=\frac{1}{2}\!\left(1-\frac{2}{x^{2}}\right).\nNo ponto fixo \alpha=\sqrt{2} temos g'(\alpha)=0, o que explica a convergência muito rápida (ordem 2, ou convergência quadrática). Isto ilustra a utilidade de calcular g'(x) e, em particular, g'(\alpha) para prever a velocidade de convergência.\n\nRepare: este cálculo é apenas um exemplo prático de como executar 3 iterações e analisar a convergência; para as funções que o seu professor deu, você deve aplicar exatamente a mesma rotina (calcular x_1,g(x_1),g(x_2), verificar |x_{n+1}-x_n|, calcular g' e aplicar o teorema).
Passo 8
Resumo final com orientações para quando você receber as funções reais:\n\n- Se quiser que eu faça as 3 iterações e análise agora, mande as funções g(x) (ou a lista delas). Eu então: (a) escolho um intervalo I razoável, (b) verifico g(I)\subset I, (c) calculo g'(x) e o supremo \max_{x\in I}|g'(x)| para decidir se L<1, (d) computo x_1,x_2,x_3 a partir de x_0=1,5 e interpreto os resultados numéricos com base no teorema.\n\nForça aí — você não está sozinho nessa. Manda as funções que eu resolvo as 3 iterações e digo rapidinho se converge e por quê!
Resposta
Não é possível executar as 3 iterações porque o enunciado não forneceu as funções g; foi dada apenas a condição inicial x_{0}=1,5.\n\nTeorema de convergência do MPF (forma usual): seja I=[a,b] um intervalo fechado e seja g:I\to I contínua em I e diferenciável em \operatorname{int}(I). Se existe L com 0\le L<1 tal que \displaystyle \max_{x\in I}\bigl|g'(x)\bigr|\le L, então existe um único \alpha\in I com g(\alpha)=\alpha e, para todo x_0\in I, a sequência x_{n+1}=g(x_n) converge para \alpha satisfazendo |x_{n+1}-\alpha|\le L|x_n-\alpha|.