3.3 Explique como o fluxo é calculado quando o campo elétrico não é uniforme, variando no espaço e/ou quando a superfície não for plana. Explique cuidadosamente a expressão.

Passo 1

O enunciado pede para explicar como se calcula o fluxo de um campo elétrico quando
  1. o campo \mathbf{E} é não uniforme (varia de ponto a ponto) e
  2. a superfície S não é plana.
    O conteúdo envolvido é o conceito de fluxo de campo e integrais de superfície em eletrostática.

Passo 2

Imaginamos a superfície S dividida em muitos pedaços infinitesimais, cada um aproximadamente plano. Em cada ponto P de S o campo vale \mathbf{E}(P) e o pedaço infinitesimal tem área dA e orientação definida pela normal unitária \hat{n}(P). O vetor área infinitesimal é
d\mathbf{A} = \hat{n}(P)\,dA.
O fluxo através desse pedaço é
d\Phi = \mathbf{E}(P)\cdot d\mathbf{A} = \mathbf{E}(P)\cdot\hat{n}(P)\,dA.

Passo 3

Para levar em conta que \mathbf{E} varia com a posição, somamos (integral) todas essas contribuições sobre toda a superfície. A soma infinitesimal vira uma integral de superfície:
\Phi = \iint_{S} \mathbf{E}(P)\cdot d\mathbf{A}.
Aqui, em cada ponto P\in S, avaliamos o produto escalar entre \mathbf{E}(P) e o vetor área local d\mathbf{A}.

Passo 4

Se a superfície S for definida por uma parametrização \mathbf{r}(u,v) com (u,v) variando num domínio D do plano, então
d\mathbf{A} = \biggl(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\biggr)du\,dv.
A integral de fluxo em coordenadas (u,v) fica
\Phi = \iint_{D} \mathbf{E}\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)\;\cdot\;\Bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\Bigr)\,du\,dv.
Isso cuida da curvatura de S e da variação de \mathbf{E}.

Passo 5

No caso especial de uma superfície plana, a parametrização pode ser tal que \hat{n} é constante, e obtemos
\Phi = \iint_{S} E\,\cos\theta\;dA,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{E} (que pode até variar) e \hat{n}.

Resposta

\Phi \;=\; \iint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \quad\text{com}\quad d\mathbf{A} = \hat{n}\,dA \quad\text{ou, em parametrização,}\quad d\mathbf{A} = \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\,du\,dv.çã

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