3.3 Explique como o fluxo é calculado quando o campo elétrico não é uniforme, variando no espaço e/ou quando a superfície não for plana. Explique cuidadosamente a expressão.
Passo 1
O enunciado pede para explicar como se calcula o fluxo de um campo elétrico quando
- o campo
é não uniforme (varia de ponto a ponto) e - a superfície
não é plana.
O conteúdo envolvido é o conceito de fluxo de campo e integrais de superfície em eletrostática.
Passo 2
Imaginamos a superfície
dividida em muitos pedaços infinitesimais, cada um aproximadamente plano. Em cada ponto
de
o campo vale
e o pedaço infinitesimal tem área
e orientação definida pela normal unitária
. O vetor área infinitesimal é
O fluxo através desse pedaço é
Passo 3
Para levar em conta que
varia com a posição, somamos (integral) todas essas contribuições sobre toda a superfície. A soma infinitesimal vira uma integral de superfície:
Aqui, em cada ponto
, avaliamos o produto escalar entre
e o vetor área local
.
Passo 4
Se a superfície
for definida por uma parametrização
com
variando num domínio
do plano, então
A integral de fluxo em coordenadas
fica
Isso cuida da curvatura de
e da variação de
.
Passo 5
No caso especial de uma superfície plana, a parametrização pode ser tal que
é constante, e obtemos
onde
é o ângulo entre
(que pode até variar) e
.