O fluxo de um campo elétrico uniforme \vec{E} por uma certa área \vec{A} é definido de maneira análoga, por
\vec{E} \cdot \vec{A}
Determine o fluxo (indicando a unidade) quando
\vec{E}=(3 \vec{i}-5 \vec{j}+\vec{k}) N / C ; \quad \vec{A}=\frac{2}{\sqrt{3}}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) m^{2}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de um campo elétrico uniforme, definido por \Phi=\vec{E}\cdot\vec{A}. O conteúdo aqui é produto escalar de vetores e precisamos decompor cada vetor em componentes cartesianas para calcular o produto escalar.

Passo 2

Escrevemos as componentes de cada vetor. \displaystyle \vec{E} = 3\,\vec{i} - 5\,\vec{j} + 1\,\vec{k}\quad\bigl[\mathrm{N/C}\bigr] \displaystyle \vec{A} = \frac{2}{\sqrt{3}}\bigl(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}\bigr)\quad\bigl[\mathrm{m}^2\bigr]
Logo as componentes de \vec{A} são \displaystyle A_x = A_y = A_z = \frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Pela definição do produto escalar em coordenadas cartesianas,
\Phi = \vec{E}\cdot\vec{A} = E_xA_x + E_yA_y + E_zA_z.

Passo 4

Substituindo os valores:
\Phi = 3\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} + (-5)\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} + 1\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\,(3 - 5 + 1) = -\frac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

\Phi = -\frac{2}{\sqrt{3}}\;\mathrm{N\cdot m^2/C}.

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