- Explique por que uma função
, real e contínua em um intervalo
, necessariamente tem um zero em
se
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma função
real e contínua no intervalo
e sabemos que
ou seja, os valores
e
têm sinais opostos. O que precisamos mostrar é que existe pelo menos um ponto
em
tal que
Passo 2
Como
, temos duas possibilidades:
Sem perda de generalidade, suponha
. Então o número
está estritamente entre
e
.
Passo 3
Aplicamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz o seguinte. Se
é contínua em
e
é qualquer valor entre
e
, então existe um ponto
em
tal que
.
Passo 4
Como escolhemos
, que satisfaz
, o teorema garante que existe algum
com
. Além disso, como
e
, esse
não pode coincidir com as pontas
ou
, ou seja,
.
Resposta
Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário com
, existe
tal que
.