1. Explique por que uma função f(x), real e contínua em um intervalo [a, b], necessariamente tem um zero em (a, b) se f(a) f(b)<0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função f real e contínua no intervalo [a,b] e sabemos que
f(a)\,f(b)<0,
ou seja, os valores f(a) e f(b) têm sinais opostos. O que precisamos mostrar é que existe pelo menos um ponto c em (a,b) tal que
f\text{(c)}=0.

Passo 2

Como f(a)\,f(b)<0, temos duas possibilidades:
  • f(a)<0<f(b)
  • f(b)<0<f(a)
Sem perda de generalidade, suponha f(a)<0<f(b). Então o número 0 está estritamente entre f(a) e f(b).

Passo 3

Aplica­mos o Teorema do Valor Intermediário, que diz o seguinte. Se f é contínua em [a,b] e L é qualquer valor entre f(a) e f(b), então existe um ponto c em [a,b] tal que f\text{(c)}=L.
\bigl[L \in [f(a),\,f(b)]\bigr] \;\Longrightarrow\; \bigl(\exists\,c\in[a,b]: f\text{(c)}=L\bigr).

Passo 4

Como escolhemos L=0, que satisfaz f(a)<0< f(b), o teorema garante que existe algum c\in[a,b] com f\text{(c)}=0. Além disso, como f(a)\neq0 e f(b)\neq0, esse c não pode coincidir com as pontas a ou b, ou seja, c\in(a,b).

Resposta

Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário com L=0, existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.

Exercícios relacionados