- Relembre a teoria da integração de Riemann.
Passo 1
O enunciado pede para relembrar a teoria da integração de Riemann. O conteúdo envolve definição de partição de um intervalo, somas de Darboux (inferior e superior), critério de integrabilidade, propriedades básicas e o teorema fundamental do cálculo. Vamos revisar cada um desses pontos.
Passo 2
Definimos uma partição
do intervalo fechado
como um conjunto finito de pontos
O diâmetro (ou norma) de
é
e serve para medir o refinamento da partição: quanto menor
, mais “fino” é o particionamento.
Passo 3
Para uma função limitada
, em cada subintervalo
definimos
As somas de Darboux inferior e superior associadas a
são
Passo 4
Definimos então
A função
é Riemann–integrável em
se e somente se
Nesse caso, chamamos esse valor comum de integral de Riemann e escrevemos
Passo 5
Critérios de integrabilidade:
- Se
é contínua em , então é Riemann–integrável. - Se
é limitada e tem apenas um número finito de pontos de descontinuidade em , então é Riemann–integrável. - Se
é monótona em , então é Riemann–integrável.
Passo 6
Propriedades básicas da integral de Riemann:
- Linearidade:
2. Monotonicidade: se em então
3. Aditividade em intervalos: para ,
Passo 7
Teorema Fundamental do Cálculo:
Se é contínua em
e definimos
Se
então
é diferenciável em
e
Além disso, se
for qualquer antiderivada de
(ou seja,
), vale
Resposta
A teoria da integração de Riemann consiste em definir a integral de uma função limitada
em
como o limite comum entre a suprema das somas inferiores e a infima das somas superiores de Darboux, mostrando que funções contínuas (ou com descontinuidades isoladas ou monótonas) são integráveis, e estabelecendo propriedades clássicas de linearidade, monotonicidade e aditividade, além do Teorema Fundamental do Cálculo que liga a integral à derivada.