1. Relembre a teoria da integração de Riemann.

Passo 1

O enunciado pede para relembrar a teoria da integração de Riemann. O conteúdo envolve definição de partição de um intervalo, somas de Darboux (inferior e superior), critério de integrabilidade, propriedades básicas e o teorema fundamental do cálculo. Vamos revisar cada um desses pontos.

Passo 2

Definimos uma partição P do intervalo fechado [a,b] como um conjunto finito de pontos
P:\;a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b.
O diâmetro (ou norma) de P é
\|P\| = \max_{1\le i\le n}(x_{i}-x_{i-1}),
e serve para medir o refinamento da partição: quanto menor \|P\|, mais “fino” é o particionamento.

Passo 3

Para uma função limitada f:[a,b]\to\mathbb{R}, em cada subintervalo [x_{i-1},x_{i}] definimos
m_{i} = \inf_{x\in[x_{i-1},x_{i}]}f(x), \quad M_{i} = \sup_{x\in[x_{i-1},x_{i}]}f(x).
As somas de Darboux inferior e superior associadas a P são
S^{-}(f,P)=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\,(x_{i}-x_{i-1}), \quad S^{+}(f,P)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\,(x_{i}-x_{i-1}).

Passo 4

Definimos então
\underline{I}(f)=\sup_{P}S^{-}(f,P), \quad \overline{I}(f)=\inf_{P}S^{+}(f,P).
A função f é Riemann–integrável em [a,b] se e somente se
\underline{I}(f)=\overline{I}(f).
Nesse caso, chamamos esse valor comum de integral de Riemann e escrevemos
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x =\underline{I}(f) =\overline{I}(f).

Passo 5

Critérios de integrabilidade:
  1. Se f é contínua em [a,b], então f é Riemann–integrável.
  2. Se f é limitada e tem apenas um número finito de pontos de descontinuidade em [a,b], então f é Riemann–integrável.
  3. Se f é monótona em [a,b], então f é Riemann–integrável.

Passo 6

Propriedades básicas da integral de Riemann:
  1. Linearidade:
    \displaystyle\int_{a}^{b}(c\,f(x)+d\,g(x))\,\mathrm{d}x =c\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x +d\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x. 2. Monotonicidade: se f(x)\le g(x) em [a,b] então
    \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \le\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x. 3. Aditividade em intervalos: para a\le c\le b,
    \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{a}^{c}f(x)\,\mathrm{d}x +\int_{c}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 7

Teorema Fundamental do Cálculo:
Se f é contínua em [a,b] e definimos
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t,
então F é diferenciável em (a,b) e
F'(x)=f(x).
Além disso, se F for qualquer antiderivada de f (ou seja, F'=f), vale
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x =F(b)-F(a).

Resposta

A teoria da integração de Riemann consiste em definir a integral de uma função limitada f em [a,b] como o limite comum entre a suprema das somas inferiores e a infima das somas superiores de Darboux, mostrando que funções contínuas (ou com descontinuidades isoladas ou monótonas) são integráveis, e estabelecendo propriedades clássicas de linearidade, monotonicidade e aditividade, além do Teorema Fundamental do Cálculo que liga a integral à derivada.

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