Explique por que o limite não existe.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}
não existe. O conteúdo aqui é limites de função em ponto onde o denominador se anula, e vamos usar o conceito de limites laterais para ver que a função “explode” de sinais opostos ao nos aproximarmos de 1.

Passo 2

Calculamos primeiro o limite pela direita, isto é, x\to1^+. Nesse caso x-1 é um número positivo muito pequeno, então
\frac{1}{x-1}\to +\infty.
Formalmente,
\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty.

Passo 3

Agora o limite pela esquerda, x\to1^-. Aqui x-1 é um número negativo com valor absoluto muito pequeno, então
\frac{1}{x-1}\to -\infty.
Formalmente,
\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty.

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem (um vai para +\infty e o outro para -\infty), não existe um único valor para o limite em x=1. Portanto a função não tem limite finito nem infinito em sentido geral.

Resposta

O limite não existe porque
\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty
e
\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty,
e os dois não são iguais.

Exercícios relacionados