Explique por que o limite não existe.
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{1}{2-x}-\frac{3}{8-x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\displaystyle \lim_{x\to2}\Bigl(\frac{1}{2-x}-\frac{3}{8-x^3}\Bigr)
não existe. O conteúdo aqui envolve limites infinitos e fatoração de diferença de cubos para simplificar a expressão e estudar os limites laterais.

Passo 2

Fatoramos o denominador 8 - x^3 usando diferença de cubos:
8 - x^3 = 2^3 - x^3 = (2 - x)\,(4 + 2x + x^2).

Passo 3

Reescrevemos cada termo em função de x-2:
\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2}, \qquad \frac{3}{8-x^3} = \frac{3}{(2-x)(4+2x+x^2)} = -\frac{3}{(x-2)\,(4+2x+x^2)}.

Passo 4

Colocamos as frações sobre o mesmo denominador (x-2)(4+2x+x^2) e somamos:
\frac{1}{2-x}-\frac{3}{8-x^3} = -\frac{1}{x-2} + \frac{3}{(x-2)(4+2x+x^2)} = \frac{-\bigl(4+2x+x^2\bigr) + 3}{(x-2)(4+2x+x^2)}.
No numerador fica -4 -2x - x^2 +3 = -(x^2+2x+1) = -(x+1)^2, logo
\frac{1}{2-x}-\frac{3}{8-x^3} = -\frac{(x+1)^2}{(x-2)\,(x^2+2x+4)}.

Passo 5

Para x próximo de 2 temos x^2+2x+4>0 e (x+1)^2>0. Assim o sinal da fração é dado por
-\frac{\text{positivo}}{x-2}.
Se x\to2^-, então x-2<0 e
-/\,(\text{negativo}) =\!+, levando a +\infty.
Se x\to2^+, então x-2>0 e
-/\,(\text{positivo}) =\!-, levando a -\infty.

Passo 6

Como os limites laterais divergem com sinais opostos, não há limite finito nem infinito único.

Resposta

O limite não existe.

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