Explique por que o limite não existe.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{|x|}

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|},
que envolve uma função definida de modo diferente à direita e à esquerda de 0. Para estudar a existência desse limite, vamos usar o conceito de limites laterais.

Passo 2

Observe que, por definição de valor absoluto, temos
\frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1, & x>0,\\\\ -1,& x<0. \end{cases}
Isto é, quando x se aproxima de 0 vindo da direita, a expressão vale sempre 1; e quando x se aproxima de 0 vindo da esquerda, vale sempre -1.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita:
\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|} =\lim_{x\to 0^+}1 =1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|} =\lim_{x\to 0^-}(-1) =-1.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (à direita dá 1 e à esquerda dá -1), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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