Explique por que os limites abaixo não existem.
a) lim x 1 xx-1

Passo 1

O enunciado pede para entender por que o limite limxto1xx-1 não existe. O conteúdo aqui é análise de limites com indeterminação de tipo infinito, e vamos precisar usar o conceito de limites laterais para ver se há divergência ou valores diferentes ao aproximar de 1 pela direita e pela esquerda.

Passo 2

Para ver se o limite existe, lembramos que, se limxto1^-f(x) e limxto1^+f(x) forem diferentes (incluindo sinais opostos de infinito), o limite em x=1 não existe.
Definimos x=1+h com hto0. A função fica xx-1=1+h(1+h)-1=1+hh. Quando h se aproxima de zero, o numerador tende a 1 e o comportamento é dado por 1/h.

Passo 3

Ao aproximar de 1 pela direita, temos h>0 e hto0^+. Então
1+hhto+infty,
Ao aproximar de 1 pela esquerda, temos h<0 e hto0^-. Então
1+hhto-infty
Como as duas bordas dão sinais opostos de infinito, o limite geral em xto1 não se nivela num único valor (nem finito, nem um infinito comum).

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais valem +∞ e -∞, logo não há um valor único a que a função se aproxime.

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