Use o método da transformada de Laplace para calcular
para a matriz de coeficientes.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular $ e^{\mathbf{A} t} $ usando o método da transformada de Laplace, onde $ \mathbf{A} $ é a matriz de coeficientes dada. Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em sistemas lineares e trabalhar com matrizes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que $ e^{\mathbf{A} t} $ é a solução geral da equação diferencial $ \mathbf{X}’ = \mathbf{A} \mathbf{X} $. Para encontrar essa solução usando a transformada de Laplace, aplicamos a transformada na equação diferencial.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação $ \mathbf{X}’ = \mathbf{A} \mathbf{X} $, temos:
Aqui, $ \mathbf{X}(s) $ é a transformada de Laplace de $ \mathbf{X}(t) $ e $ \mathbf{X}(0) $ é o vetor inicial.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para resolver $ \mathbf{X}(s) $:
Assim, isolando $ \mathbf{X}(s) $:
Onde $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade.
Passo 5
Para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, precisamos calcular a inversa de $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $. Vamos montar essa matriz:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a inversa.
Passo 6
O determinante de $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $ é:
Então, a inversa é:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter $ e^{\mathbf{A} t} $. Usando a linearidade e as propriedades da transformada inversa, temos:
Isso envolve decompor a fração em termos parciais e aplicar a transformada inversa.
Passo 8
Decompondo em frações parciais:
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
igualando os coeficientes, encontramos $ A = \frac{3}{4} $ e $ B = \frac{5}{4} $.
Passo 9
Aplicando a transformada inversa:
Fazendo o mesmo para as outras entradas da matriz, obtemos todas as componentes de $ e^{\mathbf{A} t} $.
Resposta
Finalmente, a matriz exponencial é: