Use o método da transformada de Laplace para calcular e^A t para a matriz de coeficientes.
a) X^prime=(cc4 & 3 -4 & -4) X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular $ e^{\mathbf{A} t} $ usando o método da transformada de Laplace, onde $ \mathbf{A} $ é a matriz de coeficientes dada. Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em sistemas lineares e trabalhar com matrizes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que $ e^{\mathbf{A} t} $ é a solução geral da equação diferencial $ \mathbf{X}’ = \mathbf{A} \mathbf{X} $. Para encontrar essa solução usando a transformada de Laplace, aplicamos a transformada na equação diferencial.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação $ \mathbf{X}’ = \mathbf{A} \mathbf{X} $, temos:
X' = A X
Aqui, $ \mathbf{X}(s) $ é a transformada de Laplace de $ \mathbf{X}(t) $ e $ \mathbf{X}(0) $ é o vetor inicial.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver $ \mathbf{X}(s) $:
X(s)
Assim, isolando $ \mathbf{X}(s) $:
(s I - A) X(s) = X(0)
Onde $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade.

Passo 5

Para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, precisamos calcular a inversa de $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $. Vamos montar essa matriz:
e^A t
Agora, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a inversa.

Passo 6

O determinante de $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $ é:
s I - A
Então, a inversa é:
det(s I - A) = (s - 4)(s + 4) - (-3)(4) = s^2 - 16 + 12 = s^2 - 4

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter $ e^{\mathbf{A} t} $. Usando a linearidade e as propriedades da transformada inversa, temos:
e^A t
Isso envolve decompor a fração em termos parciais e aplicar a transformada inversa.

Passo 8

Decompondo em frações parciais:
s + 4s^2 - 4 = As - 2 + Bs + 2
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
A
igualando os coeficientes, encontramos $ A = \frac{3}{4} $ e $ B = \frac{5}{4} $.

Passo 9

Aplicando a transformada inversa:
L^-1s + 4s^2 - 4 = 34 e^2t + 54 e^-2t
Fazendo o mesmo para as outras entradas da matriz, obtemos todas as componentes de $ e^{\mathbf{A} t} $.

Resposta

Finalmente, a matriz exponencial é:
e^A t = 34 e^2t + 54 e^-2t & 32 e^2t - 32 e^-2t -3 e^2t + 3 e^-2t & 54 e^2t + 34 e^-2t

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