Explique a linearização de uma função do tipo potência pelo método logarítimico.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: explicar como linearizar uma função do tipo potência pelo método logarítmico. Informações relevantes que assumimos (essas são as hipóteses usuais do método):
  • A função tem a forma y=a\,x^{b}, com a>0 e x>0.
  • A ideia é transformar essa relação não linear em uma relação linear usando logaritmos, para poder estimar a e b por regressão linear ou para identificar b como inclinação num gráfico log–log.
  • Não há outras informações adicionais (por ex.: ruído), então a exposição cobrira o caso determinístico e o caso com ruído aditivo no log.

Passo 2

Por que tomar log transforma potência em linha reta — derivação básica.
  • Começa-se com a hipótese do modelo:
y = a\,x^{b}.
  • Tomando logaritmo (natural, por convenção) dos dois lados obtém-se:
\ln y = \ln a + b\ln x.
  • Explicando cada símbolo:
    • \ln y é a transformação do eixo vertical;
    • \ln x é a transformação do eixo horizontal;
    • \ln a é a constante (intercepto) na reta resultante;
    • b é a inclinação da reta no plano (\ln x,\ln y).
  • Conclusão prática: ao plotar \ln y versus \ln x espera-se uma reta de equação
v = \alpha + b u,
onde definimos u=\ln x, v=\ln y e \alpha=\ln a.

Passo 3

Condições e observações sobre domínio e base do logaritmo.
  • É necessário ter x>0 e y>0 para usar \ln. Se houver zeros ou valores negativos, é preciso tratar os dados (ex.: eliminar pontos, usar transformação alternativa ou deslocamento), mas isso muda a interpretação.
  • A base do logaritmo (ln, log _{10}, etc.) não altera a linearidade: usar \log_{10}
\log_{10} y = \log_{10} a + b \log_{10} x,
a inclinação num gráfico \log_{10}y vs \log_{10}x é a mesma b (apenas a escala muda).

Passo 4

Como estimar a e b a partir de dados: transformação e regressão linear.
  • Dado um conjunto de n observações (x_i,y_i) com x_i>0,y_i>0, calcula-se
u_i=\ln x_i,\qquad v_i=\ln y_i\quad\text{para }i=1,\dots,n.
  • Ajusta-se uma reta por mínimos quadrados no par (u_i,v_i):
v_i \approx \alpha + b\,u_i.
  • Fórmula explícita para a inclinação b (fórmula de regressão linear simples):
b = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\big(u_i-\overline{u}\big)\big(v_i-\overline{v}\big)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\big(u_i-\overline{u}\big)^{2}},
onde
\overline{u}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}u_i,\qquad \overline{v}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}v_i.
  • O intercepto estimado é
\alpha=\overline{v}-b\,\overline{u}.
  • Finalmente, recupera-se a por inverso do log:
a = e^{\alpha}.

Passo 5

Interpretação estatística e previsão — como obter a previsão para y.
  • A previsão no espaço log é
\widehat{v} = \alpha + b\,u,
com u=\ln x.
  • A previsão direta para y (back‑transformação) é
\widehat{y} = e^{\widehat{v}} = e^{\alpha + b\ln x} = a\,x^{b}.
  • Atenção ao ponto importante: se o modelo foi estimado com ruído aditivo no log, isto é, supondo o modelo
\ln y = \alpha + b\ln x + \varepsilon,\qquad \mathbb{E}[\varepsilon]=0,
então a esperança condicional \mathbb{E}[y\mid x] não é exatamente e^{\alpha + b\ln x} porque \mathbb{E}[e^{\varepsilon}]\neq 1 em geral. Se \varepsilon\sim N(0,\sigma^{2}), então
\mathbb{E}[y\mid x] = e^{\alpha + b\ln x}\,e^{\sigma^{2}/2}.
Logo, para previsões não viesadas da média de y geralmente aplica-se um fator de correção e^{\hat\sigma^{2}/2}, onde \hat\sigma^{2} é a variância residual no modelo log.

Passo 6

Fórmulas de erro e diagnóstico (resumo prático).
  • Resíduos no espaço log:
r_i = v_i - (\alpha + b u_i).
  • Soma de quadrados residuais:
\mathrm{SSR}=\sum_{i=1}^{n} r_i^{2}.
  • Estimador de variância residual:
\hat\sigma^{2}=\frac{\mathrm{SSR}}{n-2}.
  • Erro padrão da inclinação b:
\mathrm{se}(b)=\frac{\hat\sigma}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(u_i-\overline{u})^{2}}}.
  • Esses quantificadores permitem testar se b é estatisticamente diferente de zero, construir intervalos de confiança e avaliar ajuste (R ^2 no modelo log também dá informação sobre lineariade no log–log).

Passo 7

Dicas práticas para prova e para fazer “na mão” sem calculadora.
  • Para estimar b com dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) basta:
b = \frac{\ln y_2 - \ln y_1}{\ln x_2 - \ln x_1}.
Isso é ótimo em provas rápidas: transforme os dois pontos e calcule a razão das diferenças.
  • Se tiver mais pontos, calcule u_i=\ln x_i, v_i=\ln y_i, some para obter \overline{u},\overline{v} e aplique as fórmulas do Passo 4.
  • Use logaritmos que facilitam contas (log base 10 ou ln), desde que seja consistente; para relações exatas em exercícios a manipulação de potências (por exemplo reconhecer potências de 2 ou 10) pode evitar cálculos decimais pesados.
  • Sempre verifique sinal de b e consistência física (por ex., se y cresce com x, b>0).

Passo 8

Exemplo numérico passo a passo (recupera parâmetros exatos).
  • Considere três pontos gerados por y=2\,x^{1{,}5}: (1,2), (4,16), (9,54).
  • Calcule u_i=\ln x_i e v_i=\ln y_i:
    • u_1=\ln 1=0,\quad v_1=\ln 2\approx 0,6931.
    • u_2=\ln 4\approx 1,3863,\quad v_2=\ln 16\approx 2,7726.
    • u_3=\ln 9\approx 2,1972,\quad v_3=\ln 54\approx 3,9890.
  • Médias:
\overline{u}=\frac{0+1{,}3863+2{,}1972}{3}\approx 1{,}1945,\qquad \overline{v}=\frac{0{,}6931+2{,}7726+3{,}9890}{3}\approx 2{,}4849.
  • Numerador para b:
\sum (u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})\approx 3{,}7030.
  • Denominador para b:
\sum (u_i-\overline{u})^{2}\approx 2{,}4691.
  • Portanto
b \approx \frac{3{,}7030}{2{,}4691}\approx 1{,}500.
  • Intercepto:
\alpha=\overline{v}-b\,\overline{u}\approx 2{,}4849-1{,}5\cdot1{,}1945\approx 0{,}6931.
  • Recupera-se a:
a = e^{\alpha}\approx e^{0{,}6931}\approx 2.
  • Resultado: \widehat{y}=2\,x^{1{,}5}, que recupera exatamente o modelo gerador do exemplo.

Passo 9

Cuidados, limitações e recomendações finais (tipo “cheats” de prova).
  • Se houver heterocedasticidade (variância que muda com x), o ajuste no log pode estabilizar variância — isso é uma vantagem prática.
  • Se dados têm ruído aditivo em y (não no log), a transformação pode introduzir viés; pense qual modelo é mais razoável fisicamente: ruído relativo (multiplicativo) é compatível com modelo log‑linear.
  • Sempre verifique os resíduos no espaço (u,v) para checar se a relação é realmente linear; um bom ajuste log–log deve apresentar resíduos sem padrão.
  • Para prever médias de y, aplicar correção e^{\hat\sigma^{2}/2} quando apropriado (ver Passo 5).

Resposta

Para linearizar y=a\,x^{b} aplica-se log em ambos os lados, obtendo \ln y=\ln a + b\ln x. Definindo u=\ln x e v=\ln y, estima‑se a reta v=\alpha+b\,u por mínimos quadrados com
b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(u_i-\overline{u})(v_i-\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}(u_i-\overline{u})^{2}},\qquad \alpha=\overline{v}-b\overline{u},\qquad a=e^{\alpha},
fazendo previsões por \widehat{y}=a\,x^{b} (e, se o erro for normal no log, corrigir expectativas por e^{\hat\sigma^{2}/2} se for preciso).

Exercícios relacionados