Explique em M_{2}(R), não vale a fórmula (A+B)^{2}=A^{2}+2 A \cdot B+B^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, em \,M_{2}(\mathbb{R}), a identidade escalar
(A+B)^{2}=A^{2}+2A\cdot B+B^{2}
não vale em geral.
Informações relevantes fornecidas: estamos trabalhando com matrizes 2\times2 reais; a operação é a multiplicação usual de matrizes e a soma usual.

Passo 2

Expansão correta usando propriedades distributivas (sem presumir comutatividade). Vou multiplicar (A+B)(A+B) passo a passo:
(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B).
Agora distribuo de novo em cada termo:
A(A+B)=A^{2}+AB, \qquad B(A+B)=BA+B^{2}.
Somando:
(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}.
Esta é a identidade que sempre vale para matrizes, porque só usei distributividade e associatividade.

Passo 3

Por que a fórmula escalar difere? Para números reais (ou escalares em geral) vale que AB=BA, então AB+BA=2AB. Para matrizes, porém, em geral AB\neq BA. Portanto a fórmula escalar só seria válida para matrizes quando as duas matrizes comutam, isto é, quando
AB=BA.
Em termos simples: o passo que transforma AB+BA em 2AB requer que a multiplicação seja comutativa; como em M_2(\mathbb{R}) a multiplicação não é comutativa em geral, não se pode fazer esse passo sem hipótese extra.

Passo 4

Construindo um contraexemplo explícito em \,M_{2}(\mathbb{R}). Escolho duas matrizes simples que não comutam:
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Vou calcular A^{2}, B^{2}, AB, BA e (A+B)^{2} passo a passo.]

Passo 5

Calcular A^{2} e B^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0 \\[4pt] 0\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
B^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular AB e BA:
AB=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot1 & 0\cdot0+1\cdot0 \\[4pt] 0\cdot0+0\cdot1 & 0\cdot0+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
BA=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot1+0\cdot0 \\[4pt] 1\cdot0+0\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Repare que AB\neq BA.]

Passo 7

Calcular (A+B)^{2} usando a fórmula correta A^{2}+AB+BA+B^{2}:
(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto (A+B)^{2}=I, a matriz identidade.]

Passo 8

Calcular A^{2}+2AB+B^{2} (a expressão que a identidade escalar sugeriria):
A^{2}+2AB+B^{2} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Claramente
(A+B)^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = A^{2}+2AB+B^{2}.]

Passo 9

Interpretação final e condição para a validade: a diferença entre as duas expressões é
(A+B)^{2}-(A^{2}+2AB+B^{2})=BA-AB,
que é o comutador [B,A]=BA-AB. Logo a identidade escalar só vale em \,M_{2}(\mathbb{R}) quando [B,A]=0, isto é, quando A e B comutam ( AB=BA). Um caso simples em que comutam é quando A e B são diagonais; então a fórmula escalar vale.

Resposta

A fórmula não vale em geral em M_{2}(\mathbb{R}). Contraexemplo:
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
então
(A+B)^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = A^{2}+2AB+B^{2}.]

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