Explique em
, não vale a fórmula
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, em
, a identidade escalar
não vale em geral.
Informações relevantes fornecidas: estamos trabalhando com matrizes reais; a operação é a multiplicação usual de matrizes e a soma usual.
Informações relevantes fornecidas: estamos trabalhando com matrizes
Passo 2
Expansão correta usando propriedades distributivas (sem presumir comutatividade). Vou multiplicar
passo a passo:
Agora distribuo de novo em cada termo:
Somando:
Esta é a identidade que sempre vale para matrizes, porque só usei distributividade e associatividade.
Passo 3
Por que a fórmula escalar difere? Para números reais (ou escalares em geral) vale que
, então
. Para matrizes, porém, em geral
. Portanto a fórmula escalar só seria válida para matrizes quando as duas matrizes comutam, isto é, quando
Em termos simples: o passo que transforma
em
requer que a multiplicação seja comutativa; como em
a multiplicação não é comutativa em geral, não se pode fazer esse passo sem hipótese extra.
Passo 4
Construindo um contraexemplo explícito em
. Escolho duas matrizes simples que não comutam:
Vou calcular
,
,
,
e
passo a passo.]
Passo 5
Calcular
e
:
Passo 6
Calcular
e
:
Repare que
.]
Passo 7
Calcular
usando a fórmula correta
:
Portanto
, a matriz identidade.]
Passo 8
Calcular
(a expressão que a identidade escalar sugeriria):
Claramente
Passo 9
Interpretação final e condição para a validade: a diferença entre as duas expressões é
que é o comutador
. Logo a identidade escalar só vale em
quando
, isto é, quando
e
comutam (
). Um caso simples em que comutam é quando
e
são diagonais; então a fórmula escalar vale.
Resposta
A fórmula não vale em geral em
. Contraexemplo:
então