Em cada uma das matrizes, encontre todos os autovalores e autovetores associados:
F=\left[\begin{array}{cc}-2 & 1 \\\\ 1 & -2\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede: para a matriz
F=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix},
encontrar todos os autovalores (valores próprios) e, para cada autovalor, todos os autovetores associados.
Informações dadas:
  • A matriz F é 2\times2.
  • Deve-se resolver Fv=\lambda v para \lambda (autovalores) e vetores v\neq0 (autovetores).]

Passo 2

Lembrete prático (o que vamos usar):
  • Um vetor v é autovetor de uma matriz A associado ao autovalor \lambda quando
A v = \lambda v.
  • Isso é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Para existir solução não trivial v\neq0 deve valer
\det(A-\lambda I)=0.
Essa equação em \lambda chama-se polinômio característico; suas raízes são os autovalores. Depois, para cada \lambda resolvemos o sistema linear (A-\lambda I)v=0 para achar os autovetores.

Passo 3

Calcular o polinômio característico de F:
\det\big(F-\lambda I\big) = \det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Determinante de uma 2\times2 é ad-bc. Aqui:
\det\big(F-\lambda I\big) = (-2-\lambda)(-2-\lambda)-1\cdot1.
Simplificando:
(-2-\lambda)^2-1 = (\lambda+2)^2-1 = \lambda^2+4\lambda+4-1 = \lambda^2+4\lambda+3.
Portanto o polinômio característico é
\lambda^2+4\lambda+3=0.]

Passo 4

Resolver o polinômio característico para obter os autovalores:
\lambda^2+4\lambda+3=0.
Fatora-se:
\lambda^2+4\lambda+3=(\lambda+1)(\lambda+3).
Logo as raízes são
\lambda=-1\quad\text{e}\quad \lambda=-3.

Passo 5

Encontrar os autovetores associados a \lambda=-1. Montamos (F-(-1)I)v=(F+I)v=0:
F+I=\begin{pmatrix}-2+1 & 1 \\[4pt] 1 & -2+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Resolvendo \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix} obtemos as equações
-x+y=0,\qquad x-y=0,
ambas equivalentes a y=x. Então todos os autovetores associados a \lambda=-1 são múltiplos escalares de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Em forma geral: v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} com t\neq0.]

Passo 6

Encontrar os autovetores associados a \lambda=-3. Montamos (F-(-3)I)v=(F+3I)v=0:
F+3I=\begin{pmatrix}-2+3 & 1 \\[4pt] 1 & -2+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Resolvendo \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix} obtemos as equações
x+y=0,
ou seja y=-x. Então todos os autovetores associados a \lambda=-3 são múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Em forma geral: v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} com t\neq0.]

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar seguro): multiplicando F pelos vetores geradores:
F\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2+1\\[4pt]1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\end{pmatrix} =-1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
F\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-1\\[4pt]1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]3\end{pmatrix} =-3\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Portanto está correto. Como os autovalores são distintos ( -1 e -3), os autovetores encontrados são linearmente independentes e a matriz é diagonalizável.]

Resposta

\lambda=-1: autovetores v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\\ t\neq0.
\lambda=-3: autovetores v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\\ t\neq0.]

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