Em cada uma das matrizes, encontre todos os autovalores e autovetores associados: G=\left[\begin{array}{cc}1 & i \\\\ -i & 1\end{array}\right],
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pede-se encontrar todos os autovalores e os autovetores associados da matriz
G=\begin{pmatrix}1 & i \\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}.
Informação útil que já está no enunciado: os elementos da matriz são complexos (i é a unidade imaginária) e a matriz é 2\times2.
Objetivo final: listar todos os valores \lambda tais que existe vetor não-nulo v com Gv=\lambda v, e fornecer um autovetor (ou a família de autovetores, até multiplicação por escalar) para cada autovalor.]
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicado de forma bem simples):
Um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem a equação
Gv=\lambda v.
Isso é equivalente a
(G-\lambda I)v=0,
ou seja, a matriz G-\lambda I deve ser singular. Portanto os autovalores são as soluções da equação característica
\det(G-\lambda I)=0.
Vou calcular essa determinante explicitamente para obter um polinômio em \lambda e resolvê-lo. Depois, para cada \lambda encontrado, resolvo o sistema linear (G-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.
Passo 3
Calcular o polinômio característico:
G-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & i \\[4pt] -i & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Portanto os autovalores são \lambda=0 e \lambda=2.
Passo 5
Encontrar os autovetores correspondentes a \lambda=2:
Escrevo (G-2I)v=0:
G-2I=\begin{pmatrix}-1 & i \\[4pt] -i & -1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}-1 & i \\[4pt] -i & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema (escrevo linha a linha):
- x + i y = 0,
- i x - y = 0.
Da primeira equação vem x = i y. Substituindo na segunda obtemos
- i (i y) - y = -i^2 y - y = -(-1)y - y = y - y = 0,
que é compatível (boa checagem). Logo os vetores solução são todos aqueles da forma
\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = y \begin{pmatrix}i\\[4pt] 1\end{pmatrix},
com y\neq 0. Portanto um autovetor associado a \lambda=2 é, por exemplo,
\begin{pmatrix}i\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
(opcional: normalizar — norma padrão em \mathbb{C}^2 usa conjugado: \|v\|=\sqrt{\overline{v_1}v_1+\overline{v_2}v_2}. Para v=(i,1) tem \|v\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}, então o vetor unitário correspondente é \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}i\\[4pt] 1\end{pmatrix}.)]
Passo 6
Encontrar os autovetores correspondentes a \lambda=0:
Escrevo (G-0I)v=Gv=0:
\begin{pmatrix}1 & i \\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix},
o que dá o sistema
x + i y = 0,
- i x + y = 0.
Da primeira equação segue x = -i y. Substituindo na segunda:
- i(-i y) + y = -i(-i)y + y = -i(-i)y + y.
Calcule -i(-i)=(-i)(-i)=i^2=-1, então a soma fica -1\cdot y + y = 0, compatível. Assim os autovetores são todos da forma
\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = y \begin{pmatrix}-i\\[4pt] 1\end{pmatrix},
com y\neq 0. Portanto um autovetor associado a \lambda=0 é, por exemplo,
\begin{pmatrix}-i\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
(Novamente, a normalização dá o vetor unitário \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-i\\[4pt]1\end{pmatrix}.)]
Passo 7
Propriedade adicional (confirmação e intuição):
A matriz G é hermitiana, pois G^\dagger=\overline{G}^T=G. Isso implica que todos os autovalores são reais (de fato 0 e 2 são reais) e que autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais no produto interno complexo.
Verificação rápida da ortogonalidade entre os vetores escolhidos: