Explique como o método do Carbono-14 é usado para datar fósseis.

Passo 1

O enunciado pede para entender como o método do carbono-14 é aplicado para datar fósseis. Esse método se baseia em radioatividade e em decaimento exponencial, usando conceitos de meia-vida e constante de decaimento. Para resolver a questão vamos precisar
  1. explicar como o ^14C entra no organismo e o que acontece após a morte;
  2. apresentar a lei do decaimento radioativo;
  3. mostrar como se calcula o tempo transcorrido a partir da atividade medida.

Passo 2

O carbono-14 ^{14}\mathrm{C} é produzido na alta atmosfera pela interação de nêutrons cosmicos com o nitrogênio. Durante a vida de um organismo, seu tecido incorpora carbono estável ^{12}\mathrm{C} e radioativo ^{14}\mathrm{C} numa razão praticamente constante, igual à do ar. Quando o organismo morre, ele para de trocar carbono com o ambiente e o ^{14}\mathrm{C} começa a decair sem reposição.

Passo 3

A partir do momento da morte, o número de átomos de ^{14}\mathrm{C}, denotado N(t), obedece à lei do decaimento exponencial
N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t},
onde N_0 é o número inicial de átomos (ou a atividade inicial) e \lambda é a constante de decaimento, relacionada à meia-vida T_{1/2} por
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}.

Passo 4

Na prática, medimos a atividade ou a razão ^{14}\mathrm{C}/^{12}\mathrm{C} no material fóssil, que indica N(t). Como sabemos qual seria a atividade original N_0 em um organismo vivo (obtida de padrões modernos), podemos relacionar essas duas quantidades.

Passo 5

Para encontrar o tempo t desde a morte, basta inverter a lei do decaimento:
t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\biggl(\frac{N_0}{N(t)}\biggr).
Substituindo \lambda = \ln2/T_{1/2} e os valores medidos de N(t) e N_0, obtemos a idade do fóssil.

Passo 6

Há limitações importantes:
— O método só funciona até cerca de 50\,000 anos, pois depois disso o sinal de ^{14}\mathrm{C} fica muito fraco.
— Impurezas ou contaminação podem alterar os resultados.
— A razão original N_0 varia levemente ao longo do tempo e isso exige calibração com anéis de árvores ou sedimentos.

Resposta

O método do carbono-14 determina a idade de fósseis medindo a atividade residual de ^{14}\mathrm{C} e aplicando a lei do decaimento exponencial
t = \frac{T_{1/2}}{\ln2}\,\ln\!\biggl(\frac{N_0}{N(t)}\biggr),
onde T_{1/2}\approx5730 anos é a meia-vida do ^{14}\mathrm{C}. A diferença entre a atividade original N_0 e a medida N(t) fornece o tempo transcorrido desde a morte do organismo.

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