Explique como o modelo de Bohr descreve as transições eletrônicas que resultam nas séries espectroscópicas.

Passo 1

Você pediu para eu explicar como o modelo de Bohr descreve as transições eletrônicas que resultam nas séries espectroscópicas.
Informações dadas (explicitadas para organizar a explicação):
  • Queremos entender como o modelo de Bohr gera linhas espectrais (séries) a partir de transições entre níveis eletrônicos.
  • Precisamos das relações entre níveis quantizados, energia dos níveis, energia do fóton emitido/absorvido e a fórmula que dá o comprimento de onda das linhas.
    Nada mais foi pedido explicitamente.

Passo 2

Apresento os postulados do modelo de Bohr necessários para a explicação (cada postulado com linguagem simples e o que significa).
Postulado 1: existem órbitas estacionárias em que o elétron não irradia energia. Essas órbitas são discretas e rotuladas por um número inteiro n=1,2,3,\dots. (Significa: o elétron só pode ter certos estados, não qualquer valor contínuo.)
Postulado 2: o momento angular do elétron é quantizado. Matematicamente:
m v r = n\hbar
onde m é a massa do elétron, v sua velocidade na órbita, r o raio da órbita, n o número quântico inteiro e \hbar=\dfrac{h}{2\pi} com h a constante de Planck. (Significado: só certas combinações de v e r são permitidas.)
Postulado 3: a emissão ou absorção de luz ocorre quando o elétron salta entre duas órbitas. A energia do fóton é igual à diferença de energia entre os níveis:
\Delta E = E_i - E_f = h\nu = \dfrac{h c}{\lambda}
onde E_i é energia inicial, E_f energia final, \nu frequência, \lambda comprimento de onda, c velocidade da luz. (Significado: saltos de níveis geram fótons com energia bem definida.)

Passo 3

Derivo a expressão para os raios permitidos r_n usando a força coulombiana e a quantização do momento angular.
Força centrípeta necessária para movimento circular:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r^2} = \frac{m v^2}{r}
onde Z é o número atômico (para hidrogênio Z=1), e a carga do elétron e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo. Multiplicando ambos os lados por r obtemos
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r} = m v^2.
Da quantização do momento angular:
v = \frac{n\hbar}{m r}.
Substituo v na expressão para m v^2:
m v^2 = m\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^2 = \frac{n^2\hbar^2}{m r^2}.
Igualando com a expressão da força:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r} = \frac{n^2\hbar^2}{m r^2}.
Multiplico por r^2 e resolvo para r:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Z e^2 r = \frac{n^2\hbar^2}{m}
r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\,\frac{n^2}{Z}.
Defino a constante chamada raio de Bohr:
a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\approx 5{,}29\times 10^{-11}\,\text{m}.
Logo
r_n = \frac{a_0 n^2}{Z}.
Interpretação simples: o raio cresce como n^2 e fica menor se o núcleo tem carga maior ( Z maior).

Passo 4

Derivo a expressão para as energias permitidas E_n.
Energia total do elétron na órbita é energia cinética mais potencial:
E = K + U.
A energia potencial coulombiana (com sinal negativo) é
U = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r}.
Da igualdade da força (Passo 3) temos m v^2 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Z e^2}{r}, então a energia cinética é
K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r}.
Somando:
E = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r}.
Substituo r_n e reorganizo; o resultado padrão é
E_n = -\frac{m e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\,\frac{Z^2}{n^2}.
Esse prefator é a energia do nível fundamental do hidrogênio (com Z=1 e n=1):
E_1 = -13{,}6\\ \text{eV},
portanto, de forma prática:
E_n = -13{,}6\\ \text{eV}\cdot\frac{Z^2}{n^2}.
Interpretação: níveis mais negativos (mais ligados) para n pequeno; energia varia como 1/n^2.

Passo 5

Agora relaciono transições entre níveis com o comprimento de onda das linhas (obtendo fórmula de Rydberg).
Para uma transição de um nível inicial n_i para um nível final n_f (assumindo n_i>n_f para emissão), a energia do fóton é
\Delta E = E_{n_i}-E_{n_f} = 13{,}6\\ \text{eV}\,Z^2\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Usando \Delta E = h c/\lambda obtemos a fórmula para o comprimento de onda:
\frac{1}{\lambda} = R_\infty\,Z^2\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),
onde R_\infty é a constante de Rydberg (para massas de elétron e núcleo afastadas aprox. em hidrogênio):
R_\infty \approx 1{,}097373\times 10^{7}\\ \text{m}^{-1}.
Observação sobre o sinal: para emissão n_i>n_f e o parêntese é positivo, dando \lambda>0. Para absorção invertemos E_f-E_i e obtemos a mesma condição na fórmula.

Passo 6

Identifico e descrevo as séries espectrais a partir da fórmula (cada série corresponde a um valor fixo de n_f). Para Z=1 (hidrogênio):
  • Lyman: n_f=1. Transições com n_i=2,3,\dots. Comprimentos de onda na região ultravioleta (UV). O limite de série (quando n_i\to\infty) é \lambda = 1/(R)\approx 91{,}2\\ \text{nm}.
  • Balmer: n_f=2. Transições com n_i=3,4,\dots. Algumas linhas visíveis: H_\alpha é n_i=3\to n_f=2. Calculo do H_\alpha passo a passo:
    Primeiro, a fração: \frac{1}{\lambda} = R\!\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right) = R\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=R\cdot\frac{5}{36}.Então \lambda = \frac{36}{5R}.Substituindo R\approx 1{,}097373\times 10^7\\ \text{m}^{-1}: \lambda \approx \frac{36}{5\times 1{,}097373\times 10^7}\\ \text{m}\approx 6{,}563\times 10^{-7}\\ \text{m}=656{,}3\\ \text{nm}.Esse é o valor conhecido para H_\alpha (na faixa visível, vermelho).
  • Paschen: n_f=3. Linhas no infravermelho (IR).
  • Brackett: n_f=4. Infravermelho mais longo.
  • Pfund: n_f=5. Ainda IR.
    Resumo prático: cada série corresponde a um n_f fixo; quanto maior n_f, maior o comprimento de onda típico (mais para o IR).

Passo 7

Comento as limitações do modelo e o que ele explica bem (importante para prova/entendimento).
O modelo de Bohr explica com sucesso: posição (comprimentos de onda) das linhas do hidrogênio e prevê a fórmula de Rydberg. Também introduz o conceito de quantização de energia de maneira intuitiva.
Limitações importantes (para não ser pego de surpresa): Bohr não explica átomos com vários elétrons de forma correta, não dá razões completas para regras de seleção (quando uma transição é permitida ou proibida) nem explica intensidades das linhas; essas coisas só vêm com a mecânica quântica (modelo ondulatório, funções de onda, momento angular orbital com números l, e regras de seleção como \Delta l=\pm 1). Mesmo assim, para hidrogênio e sistemas hidrogenoides o resultado numérico das posições das linhas está correto.

Resposta

O modelo de Bohr descreve as séries espectroscópicas postulando órbitas estacionárias quantizadas com momento angular m v r=n\hbar; daí surgem raios permitidos r_n=\dfrac{a_0 n^2}{Z} e energias quantizadas E_n=-13{,}6\\ \text{eV}\cdot\dfrac{Z^2}{n^2}. A energia do fóton emitido/absorvido numa transição n_i\to n_f é \Delta E=E_{n_i}-E_{n_f}=h c/\lambda, levando à fórmula de Rydberg
\frac{1}{\lambda}=R_\infty Z^2\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Para hidrogênio ( Z=1) isso gera as séries: Lyman ( n_f=1, UV), Balmer ( n_f=2, visível; ex.: H_\alpha 656{,}3\\ \text{nm}), Paschen ( n_f=3, IR), Brackett ( n_f=4, IR), Pfund ( n_f=5, IR). Bohr acerta as posições das linhas do hidrogênio, mas tem limitações para átomos multieletrônicos e não prevê probabilidades/seleção de transições (que só a mecânica quântica completa explica).

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