Uma placa metálica de sinalização (peso
) de uma loja está suspensa pela extremidade de uma haste horizontal de comprimento
igual a
e massa de 10 kg (Fig). A haste está sustentada por um cabo que forma um ângulo de
com o plano horizontal e por uma dobradiça no ponto
. Classifique os seguintes módulos de força por ordem decrescente: (i) o peso
da placa; (ii) a tensão no cabo; (iii) o componente vertical e horizontal da força exercida sobre a vara pela dobradiça no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique, em ordem decrescente de módulo (maior para menor), as forças abaixo que atuam na haste e na placa:
- (i) o peso da placa, dado como
(interpreto isso como massa da placa; o peso é ); - (ii) a tensão no cabo (módulo
); - (iii) as componentes vertical e horizontal da força da dobradiça no ponto
(vou chamar de a componente vertical e a componente horizontal).
Informações geométricas e numéricas que o enunciado dá:
- comprimento da haste:
; - massa da haste:
(peso da haste ); - o cabo faz ângulo
com o plano horizontal; - a placa está presa na extremidade livre da haste (ou seja, a carga
age no ponto a distância da dobradiça); - a haste é horizontal (logo o centro de massa da haste está a
da dobradiça).
O objetivo: determinar o módulo de
, de
e
(ou pelo menos compará-los com
), e ordenar os quatro módulos
do maior para o menor.
Passo 2
Desenho mental e definição das forças (diagrama de corpo livre):
- No ponto final da haste (distância
da dobradiça) atuam: o peso da placa para baixo (com ) e a tensão ao longo do cabo formando ângulo com a horizontal. A tensão tem componentes
- Ao longo da haste atua também o peso da própria haste
aplicado no centro ( da dobradiça) apontando para baixo, com . - Na dobradiça em
existe uma força de reação com componentes (horizontal) e (vertical). - Equilíbrios que valem (a haste está em equilíbrio estático): soma de momentos em relação a
nula e soma das forças em e nulas.
Vou usar
como aceleração da gravidade. Observação importante: como estamos apenas comparando módulos e
é fator comum, muitas expressões terão
em fator comum; podemos deixar resultados em função de
ou calcular numérico com
.
Passo 3
Equilíbrio de momentos em relação à dobradiça
(torque):
Escolho sentido positivo contrarrelógio. As forças que produzem momentos que não passam por são
(através de sua componente vertical),
e
.
Escolho sentido positivo contrarrelógio. As forças que produzem momentos que não passam por
- Momento da tensão: a componente vertical de
é para cima aplicada na extremidade a distância . Essa componente produz momento no sentido contrarrelógio de módulo . - Momentos dos pesos:
em produz momento horário de módulo . O peso da haste em produz momento horário de .
Equilíbrio de momentos:
Cancelando
(não nulo):
Substituindo
:
Logo
Agora escrevo
com
e
com
. Assim
Se quiser um valor numérico em newtons (usando
):
Passo 4
Equilíbrio de forças na vertical (soma das forças verticais = 0):
Forças verticais positivas para cima: e
. Forças para baixo:
e
. Assim
Forças verticais positivas para cima:
Mas já temos
da equação de momentos. Substituindo:
Cancelando
:
Logo
Valor numérico aproximado:
Interpretação física rápida: a parte do peso da haste que a dobradiça precisa sustentar verticalmente é metade do peso da haste, porque o cabo suporta a outra parte ao criar um momento.
Passo 5
Equilíbrio de forças na horizontal (soma das forças horizontais = 0):
As únicas forças horizontais são (direção depende da geometria, mas em módulo) e
. Portanto, em módulo,
As únicas forças horizontais são
Substituindo
e
:
Valor numérico aproximado:
(Se preferir em termos de
:
é equivalente a
.)
Passo 6
Agora compare os módulos (todos em função de
para facilitar a comparação sem precisar calcular N):
- Tensão:
. - Componente horizontal da dobradiça:
. - Peso da placa:
. - Componente vertical da dobradiça:
.
Ordenando em ordem decrescente (do maior para o menor) pelos coeficientes multiplicativos de
:
Ou seja:
- maior:
(item (ii)); - depois: componente horizontal da dobradiça
(parte do item (iii)); - depois: o peso da placa
(item (i)); - menor: componente vertical da dobradiça
(parte do item (iii)).
Resposta
(ii) tensão no cabo
componente horizontal da força da dobradiça em
(i) peso da placa
componente vertical da força da dobradiça em