Uma placa metálica de sinalização (peso p=80 \mathrm{~kg} ) de uma loja está suspensa pela extremidade de uma haste horizontal de comprimento L igual a 1,5 m e massa de 10 kg (Fig). A haste está sustentada por um cabo que forma um ângulo de 30^{\circ} com o plano horizontal e por uma dobradiça no ponto P. Classifique os seguintes módulos de força por ordem decrescente: (i) o peso p da placa; (ii) a tensão no cabo; (iii) o componente vertical e horizontal da força exercida sobre a vara pela dobradiça no ponto P.

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique, em ordem decrescente de módulo (maior para menor), as forças abaixo que atuam na haste e na placa:
  • (i) o peso da placa, dado como p=80\\ \mathrm{kg} (interpreto isso como massa da placa; o peso é W_p = p\,g);
  • (ii) a tensão no cabo (módulo T);
  • (iii) as componentes vertical e horizontal da força da dobradiça no ponto P (vou chamar de H_y a componente vertical e H_x a componente horizontal).
Informações geométricas e numéricas que o enunciado dá:
  • comprimento da haste: L=1{,}5\\ \mathrm{m};
  • massa da haste: m_r=10\\ \mathrm{kg} (peso da haste W_r=m_r g);
  • o cabo faz ângulo \,30^\circ com o plano horizontal;
  • a placa está presa na extremidade livre da haste (ou seja, a carga W_p age no ponto a distância L da dobradiça);
  • a haste é horizontal (logo o centro de massa da haste está a L/2 da dobradiça).
O objetivo: determinar o módulo de T, de H_x e H_y (ou pelo menos compará-los com W_p), e ordenar os quatro módulos \{T,\\ H_x,\\ W_p,\\ H_y\} do maior para o menor.

Passo 2

Desenho mental e definição das forças (diagrama de corpo livre):
  • No ponto final da haste (distância L da dobradiça) atuam: o peso da placa W_p=m_p g para baixo (com m_p=80\\ \mathrm{kg}) e a tensão T ao longo do cabo formando ângulo \theta=30^\circ com a horizontal. A tensão tem componentes
T_x = T\cos\theta,\qquad T_y = T\sin\theta.
  • Ao longo da haste atua também o peso da própria haste W_r=m_r g aplicado no centro ( L/2 da dobradiça) apontando para baixo, com m_r=10\\ \mathrm{kg}.
  • Na dobradiça em P existe uma força de reação com componentes H_x (horizontal) e H_y (vertical).
  • Equilíbrios que valem (a haste está em equilíbrio estático): soma de momentos em relação a P nula e soma das forças em x e y nulas.
Vou usar g como aceleração da gravidade. Observação importante: como estamos apenas comparando módulos e g é fator comum, muitas expressões terão g em fator comum; podemos deixar resultados em função de g ou calcular numérico com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Equilíbrio de momentos em relação à dobradiça P (torque):
Escolho sentido positivo contrarrelógio. As forças que produzem momentos que não passam por P são T (através de sua componente vertical), W_p e W_r.
  • Momento da tensão: a componente vertical de T é T\sin\theta para cima aplicada na extremidade a distância L. Essa componente produz momento no sentido contrarrelógio de módulo T\sin\theta\cdot L.
  • Momentos dos pesos: W_p em L produz momento horário de módulo W_p\cdot L. O peso da haste W_r em L/2 produz momento horário de W_r\cdot(L/2).
Equilíbrio de momentos:
T\sin\theta\cdot L = W_p\cdot L + W_r\cdot\frac{L}{2}.
Cancelando L (não nulo):
T\sin\theta = W_p + \frac{W_r}{2}.
Substituindo \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}:
T\cdot\frac{1}{2} = W_p + \frac{W_r}{2}.
Logo
T = 2W_p + W_r.
Agora escrevo W_p = m_p g com m_p=80\\ \mathrm{kg} e W_r=m_r g com m_r=10\\ \mathrm{kg}. Assim
T = 2(m_p g) + (m_r g) = (2m_p + m_r)g = (2\cdot 80 + 10)\,g = 170\,g.
Se quiser um valor numérico em newtons (usando g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
T \approx 170\cdot 9{,}81 \approx 1668\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Equilíbrio de forças na vertical (soma das forças verticais = 0):
Forças verticais positivas para cima: T_y = T\sin\theta e H_y. Forças para baixo: W_p e W_r. Assim
H_y + T\sin\theta = W_p + W_r.
Mas já temos T\sin\theta = W_p + \dfrac{W_r}{2} da equação de momentos. Substituindo:
H_y + \left(W_p + \frac{W_r}{2}\right) = W_p + W_r.
Cancelando W_p:
H_y + \frac{W_r}{2} = W_r \quad\Rightarrow\quad H_y = W_r - \frac{W_r}{2} = \frac{W_r}{2}.
Logo
H_y = \frac{W_r}{2} = \frac{m_r g}{2} = \frac{10\,g}{2} = 5\,g.
Valor numérico aproximado:
H_y \approx 5\cdot 9{,}81 \approx 49{,}05\\ \mathrm{N}.
Interpretação física rápida: a parte do peso da haste que a dobradiça precisa sustentar verticalmente é metade do peso da haste, porque o cabo suporta a outra parte ao criar um momento.

Passo 5

Equilíbrio de forças na horizontal (soma das forças horizontais = 0):
As únicas forças horizontais são T_x = T\cos\theta (direção depende da geometria, mas em módulo) e H_x. Portanto, em módulo,
|H_x| = T\cos\theta.
Substituindo T=170g e \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}:
|H_x| = 170g\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 85\sqrt{3}\,g.
Valor numérico aproximado:
|H_x| \approx 85\cdot 1{,}732\cdot 9{,}81 \approx 147{,}2\cdot 9{,}81 \approx 1445\\ \mathrm{N}.
(Se preferir em termos de g: H_x \approx 147{,}2\,g é equivalente a 85\sqrt{3}\,g.)

Passo 6

Agora compare os módulos (todos em função de g para facilitar a comparação sem precisar calcular N):
  • Tensão: T = 170\,g.
  • Componente horizontal da dobradiça: |H_x| = 85\sqrt{3}\,g \approx 147{,}2\,g.
  • Peso da placa: W_p = m_p g = 80\,g.
  • Componente vertical da dobradiça: H_y = 5\,g.
Ordenando em ordem decrescente (do maior para o menor) pelos coeficientes multiplicativos de g:
170 > 85\sqrt{3}\\ (\approx 147{,}2) > 80 > 5.
Ou seja:
  • maior: T (item (ii));
  • depois: componente horizontal da dobradiça H_x (parte do item (iii));
  • depois: o peso da placa W_p (item (i));
  • menor: componente vertical da dobradiça H_y (parte do item (iii)).

Resposta

(ii) tensão no cabo > componente horizontal da força da dobradiça em P > (i) peso da placa p > componente vertical da força da dobradiça em P

Exercícios relacionados