Explique o modelo de Drude (que visa estabelecer a relação entre o campo elétrico e a velocidade de deriva e assim a relação entre o campo elétrico e a densidade de corrente elétrica).

Passo 1

O modelo de Drude trata os elétrons de condução num metal como partículas clássicas livres que se movem entre colisões com uma velocidade aleatória térmica, sofrendo choques oportunos com os íons da rede. Nosso objetivo é relacionar o campo elétrico aplicado E à velocidade média de deriva lang<=vrang<= e, em seguida, obter a densidade de corrente elétrica J. Vamos usar a segunda lei de Newton e introduzir o tempo médio entre colisões, chamado de tempo de relaxação tau.

Passo 2

Escrevemos a equação de movimento para um elétron de massa m e carga -e sob a ação de E, incluindo um termo que modela a perda de ímpeto por colisões. No formalismo de tempo de relaxação, a variação média da velocidade satisfaz
mdlang<=vrang<=dt = -e,E ;-; mlang<=vrang<=tau
Aqui -e,E é a força elétrica e mlang<=vrang<=tau representa o “arrasto” médio que traz o elétron de volta à distribuição isotrópica após um tempo típico tau.

Passo 3

Em regime estacionário, a velocidade média não muda no tempo, ou seja dlang<=vrang<=dt=0. Assim a equação vira
0 = -e,E ;-; mlang<=vrang<=tau,
de onde isolamos a velocidade de deriva
lang<=vrang<= = -e,taum,E
Esse resultado mostra que, apesar do movimento térmico aleatório, existe uma componente média na direção oposta ao campo (o sinal vem de a carga ser negativa).

Passo 4

A densidade de corrente elétrica é definida como o produto do número de portadores n, da carga por portador e da velocidade média:
J = n,(-e),lang<=vrang<=
Substituindo lang<=vrang<= obtemos
J = n,(-e),l(-e,taumEr) = n,e^2,taum,E

Passo 5

Reconhecemos a forma de uma lei de Ohm local:
J = sigma,E,
com a condutividade elétrica dada por
sigma = n,e^2,taum
Fisicamente, tau mede a frequência de colisões: quanto maior tau, menor a dispersão e maior a condutividade.

Resposta

A velocidade de deriva média no modelo de Drude é
lang<=vrang<= = -e,taum,E,
e a densidade de corrente é
J = n,e^2,taum,E,
com condutividade sigma = n,e^2,taum.

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