Explique o modelo de Niels Bohr, de forma qualitativa ( 0.5 pts.) e quantitativa ( 0.5 pts .). Encontre (calcule) as energias dos níveis do átomo de Bohr (1 pto.). O modelo de Bohr funciona ou não? explique. ( 0.5 pts .)
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, separadas e bem claras:
- Explicação qualitativa do modelo de Bohr (0,5 pt).
- Explicação quantitativa do modelo de Bohr (0,5 pt).
- Calcular as energias dos níveis do átomo de Bohr (1,0 pt).
- Dizer se o modelo funciona ou não, com justificativa (0,5 pt).
Não há dados numéricos adicionais no enunciado; a tarefa é apresentar o modelo, derivar as fórmulas e comentar seu alcance.
Passo 2
Qualitativamente: ideia geral e postulados essenciais (explicação passo a passo, sem fórmulas por enquanto).
-
Imagine um átomo de hidrogênio: um núcleo pontual (próton) com carga positiva e um elétron movimentando-se ao redor. No modelo clássico, um elétron em órbita circular acelerada deveria irradiar energia continuamente e colapsar no núcleo — mas isso não acontece nos átomos estáveis.
-
Niels Bohr (1913) propôs uma mistura de ideias clássicas e uma hipótese quântica para resolver isso. Os pontos principais (postulados, explicados de forma simples):
- Existem órbitas estacionárias quantizadas: o elétron pode circular em certas órbitas estáveis sem emitir radiação. Essas órbitas têm raios discretos.
- Somente são permitidas órbitas cujo momento angular seja um múltiplo inteiro de uma constante fundamental: o momento angular do elétron vale
, com (vou derivar isso depois). - Radiação eletromagnética é emitida ou absorvida apenas quando o elétron salta entre duas órbitas permitidas. A frequência da radiação satisfaz a relação de Planck:
, onde e são as energias das órbitas inicial e final.
-
Em palavras: Bohr diz “nem todas as órbitas são possíveis; apenas aquelas que satisfazem uma condição de quantização do momento angular. Enquanto o elétron fica numa dessas órbitas, nada é emitido; só ao pular entre elas aparece a luz, com energia igual à diferença entre níveis.”
Passo 3
Quantitativamente — condições físicas e equações básicas. Definições de variáveis:
-
: número atômico (para hidrogênio ). -
: carga elementar do elétron ( é o módulo da carga). -
: massa do elétron. -
: permissividade elétrica do vácuo. -
: raio da órbita (variável, subíndice para órbita : ). -
: velocidade do elétron na órbita. -
: número quântico principal ( ). -
: constante de Planck. -
: constante reduzida, .
Agora as duas equações fundamentais que Bohr usa (explicadas):
- Equilíbrio de forças (clássico): a força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular é fornecida pela força coulombiana de atração próton–elétron. Escrevemos
Lado esquerdo: força elétrica atrativa. Lado direito: massa vezes aceleração centrípeta (
).
- Quantização do momento angular (hipótese de Bohr):
Isto impõe que o momento angular do elétron só pode assumir valores discretos, múltiplos inteiros de
.
Com essas duas equações conseguimos determinar
e
em função de
e constantes físicas.
Passo 4
Derivação do raio
da órbita permitida.
- Da quantização:
. Substituo na equação do equilíbrio de forças:
- Multiplicando ambos os lados por
e isolando dá:
- Definimos o raio de Bohr (constante) para
:
logo em forma compacta
- Numérico: substituindo constantes obtém-se aproximadamente
Portanto, por exemplo para hidrogênio (
),
,
, etc.
Passo 5
Cálculo das energias: energia cinética, potencial e energia total por órbita.
- Energia cinética do elétron:
Usando a relação do equilíbrio de forças
(multiplicando a equação do passo 3 por
):
- Energia potencial elétrica (entre cargas
e , sinal negativo porque é atrativa):
- Energia total da órbita
:
Assim, a energia total é negativa (átomo ligado) e vale metade, em módulo, da energia potencial.
Passo 6
Expressão final para
substituindo
.
- Substituo
na expressão de . Como , obtenho:
Agrupando termos:
Usando
simplifica-se para a forma mais comum em termos de
:
- Para o átomo de hidrogênio (
) a constante na frente dá numericamente
Portanto, de modo prático:
e em geral
Passo 7
Interpretação física das fórmulas e exemplos rápidos (como usar na prova).
- O número quântico
controla o tamanho da órbita ( ) e a energia ( ). Saltos entre e liberam/fotografam fótons de energia
- Para obter o comprimento de onda
do fóton, usar , daí
e reconhecer o número de Rydberg
em problemas de espectroscopia.
Passo 8
O modelo de Bohr funciona? (limitações e sucessos)
-
Sucessos:
- Explica quantitativamente as linhas espectrais do hidrogênio (fórmula de Rydberg), e dá a energia correta para níveis eletrônicos do átomo de hidrogênio e dos íons hidrogenoides (como He
, Li , com fator ). - Fornece valores corretos para o raio e a energia do estado fundamental do hidrogênio — muito útil e simples.
- Explica quantitativamente as linhas espectrais do hidrogênio (fórmula de Rydberg), e dá a energia correta para níveis eletrônicos do átomo de hidrogênio e dos íons hidrogenoides (como He
-
Limitações (por que o modelo não é a teoria final):
- É semiclassico: mistura regras quânticas (quantização do momento angular) com trajetórias clássicas (órbitas circulares). Não trata o elétron como onda.
- Incapaz de explicar átomos com mais de um elétron (não lida com correlações eletrônicas).
- Não explica a estrutura fina das linhas espectrais (correções relativísticas) nem efeitos de spin do elétron, nem intensidades relativas das linhas, nem splitting por campos elétricos (Stark) ou magnéticos (Zeeman) em detalhe — a teoria quântica (Schrödinger/Dirac) faz isso.
- Viola o princípio da incerteza de Heisenberg se interpretado estritamente como órbita clássica bem definida.
-
Conclusão curta: o modelo de Bohr “funciona” para hidrogênio e átomos hidrogenoides no sentido de prever corretamente energias e comprimentos de onda das linhas (grau de acerto surpreendente para a época), mas falha como teoria geral; foi substituído por mecânica quântica (função de onda de Schrödinger; teoria de Dirac para efeitos relativísticos) que explica todos os efeitos que Bohr não conseguia e fundamenta a quantização de forma consistente.
Resposta
Qualitativa: O modelo de Bohr postula órbitas estacionárias quantizadas onde o elétron não irradia; somente órbitas com momento angular
são permitidas e fótons são emitidos/absorvidos em transições entre níveis com
.
Quantitativa: A partir do equilíbrio coulombiano e da quantização do momento angular obtém‑se
e
Energias dos níveis (fórmula final):
(para hidrogênio
:
;
).
O modelo funciona?: Funciona bem para explicar energias e espectro do hidrogênio e íons hidrogenoides (sucesso histórico), mas não é geral — falha para átomos multi‑eletrônicos, estrutura fina, efeitos de spin e outros detalhes; foi substituído pela mecânica quântica (Schrödinger/Dirac).