27.42 Uma espira retangular de 5,0 \mathrm{~cm} \times 8,0 \mathrm{~cm} possui plano paralelo a um campo magnético de 0,19 \mathrm{~T}. A espira conduz uma corrente igual a 6,2 \mathrm{~A}. (a) Qual é o torque que atua sobre a espira? (b) Qual é o módulo do momento magnético da espira? (c) Qual é o torque máximo que pode ser obtido sobre um fio com o mesmo comprimento total da espira e conduzindo a mesma corrente nesse campo magnético?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei-os diretamente do enunciado):
  • dimensões da espira retangular: 5{,}0\\ \mathrm{cm} por 8{,}0\\ \mathrm{cm};
  • campo magnético uniforme: B=0{,}19\\ \mathrm{T};
  • corrente na espira: I=6{,}2\\ \mathrm{A};
  • a espira tem o seu plano paralelo ao campo magnético.
O enunciado pede três coisas:
(a) o torque que atua sobre a espira;
(b) o módulo do momento magnético da espira;
(c) o torque máximo que pode ser obtido sobre um fio com o mesmo comprimento total da espira, conduzindo a mesma corrente nesse campo magnético.

Passo 2

Entendendo as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • O momento magnético de uma espira plana e de corrente é dado por
\mu = I\,A,
onde I é a corrente e A é a área da espira. Aqui \mu tem unidades de \mathrm{A\cdot m^{2}}.
  • O torque magnético sobre uma espira é o módulo do produto vetorial entre o momento magnético e o campo magnético:
\tau = \mu B \sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre o vetor momento magnético \vec{\mu} (normal à espira) e o vetor \vec{B}. Para \theta=90^\circ, \sin\theta=1 e o torque vale \tau=\mu B.
Explicando em palavras: a espira age como um pequeno ímã com momento \mu; o campo B tende a alinhar esse “ímã” e o torque é máximo quando o plano da espira está paralelo ao campo (pois aí o normal está perpendicular a B).

Passo 3

Calcular a área da espira retangular. Primeiro passo: converter as dimensões para metros:
5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}050\\ \mathrm{m},\qquad 8{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}080\\ \mathrm{m}.
A área é
A = (0{,}050)(0{,}080)=0{,}00400\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora o momento magnético da espira:
\mu = I\,A = 6{,}2\times 0{,}00400 = 0{,}0248\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.
Este é o módulo de \mu. (Aqui calculei multiplicando diretamente; se preferir, pense: 6{,}2\times4{,}00\times10^{-3}=24{,}8\times10^{-3}=0{,}0248.)

Passo 4

Calcular o torque sobre a espira sabendo que o plano da espira é paralelo a \vec{B}. Nesse caso o vetor normal à espira é perpendicular a \vec{B}, logo \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Então
\tau = \mu B = 0{,}0248\times 0{,}19 = 0{,}004712\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando com o número de algarismos significativos compatível com os dados (dois algarismos): \tau\approx 0{,}0047\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Resposta direta da parte (b) (já calculada no Passo 3), com arredondamento apropriado:
\mu = 0{,}0248\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}\approx 0{,}025\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.

Passo 6

Agora a parte (c): queremos o torque máximo que pode ser obtido sobre um fio com o mesmo comprimento total da espira e conduzindo a mesma corrente no mesmo campo.
Interpretando: o fio com o mesmo comprimento total pode ser formado em qualquer laço fechado; para um laço fechado de comprimento fixo, a área máxima que se pode obter é a da circunferência (princípio isoperimétrico: entre todas as curvas de perímetro fixo, a circunferência tem maior área). Portanto para maximizar o torque (já que \tau=\mu B=IAB), devemos usar a forma circular.
Passos para calcular:
  • comprimento total do fio (perímetro da espira retangular):
L = 2(0{,}050+0{,}080)=2(0{,}130)=0{,}260\\ \mathrm{m}.
  • para uma circunferência de comprimento L, o raio vale
r=\frac{L}{2\pi}=\frac{0{,}260}{2\pi}.
  • área máxima A_{\max} é a área do círculo:
A_{\max}=\pi r^{2}=\pi\left(\frac{L}{2\pi}\right)^{2}=\frac{L^{2}}{4\pi}.
  • então o maior momento magnético possível com esse fio é
\mu_{\max}=I\,A_{\max}=I\frac{L^{2}}{4\pi}.
  • e o torque máximo (com \theta=90^\circ, plano paralelo a B) é
\tau_{\max}=\mu_{\max}B=I\frac{L^{2}}{4\pi}\,B.

Passo 7

Agora calcular numericamente \tau_{\max}. Primeiro L^{2}:
L=0{,}260\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad L^{2}=0{,}260^{2}=0{,}0676\\ \mathrm{m^{2}}.
Então
A_{\max}=\frac{0{,}0676}{4\pi}=\frac{0{,}0676}{12{,}5663706}=0{,}0053816\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).
Logo
\mu_{\max}=I\,A_{\max}=6{,}2\times 0{,}0053816=0{,}0333259\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.
E finalmente
\tau_{\max}=\mu_{\max}B=0{,}0333259\times 0{,}19=0{,}0063319\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando com dois algarismos significativos:
\tau_{\max}\approx 0{,}0063\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

(a) 0{,}0047\\ \mathrm{N\cdot m}
(b) 0{,}025\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}
(c) 0{,}0063\\ \mathrm{N\cdot m}

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