27.42 Uma espira retangular de
possui plano paralelo a um campo magnético de
. A espira conduz uma corrente igual a
. (a) Qual é o torque que atua sobre a espira? (b) Qual é o módulo do momento magnético da espira? (c) Qual é o torque máximo que pode ser obtido sobre um fio com o mesmo comprimento total da espira e conduzindo a mesma corrente nesse campo magnético?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei-os diretamente do enunciado):
- dimensões da espira retangular:
por ; - campo magnético uniforme:
; - corrente na espira:
; - a espira tem o seu plano paralelo ao campo magnético.
O enunciado pede três coisas:
(a) o torque que atua sobre a espira;
(b) o módulo do momento magnético da espira;
(c) o torque máximo que pode ser obtido sobre um fio com o mesmo comprimento total da espira, conduzindo a mesma corrente nesse campo magnético.
(a) o torque que atua sobre a espira;
(b) o módulo do momento magnético da espira;
(c) o torque máximo que pode ser obtido sobre um fio com o mesmo comprimento total da espira, conduzindo a mesma corrente nesse campo magnético.
Passo 2
Entendendo as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- O momento magnético de uma espira plana e de corrente é dado por
onde
é a corrente e
é a área da espira. Aqui
tem unidades de
.
- O torque magnético sobre uma espira é o módulo do produto vetorial entre o momento magnético e o campo magnético:
onde
é o ângulo entre o vetor momento magnético
(normal à espira) e o vetor
. Para
,
e o torque vale
.
Explicando em palavras: a espira age como um pequeno ímã com momento
; o campo B tende a alinhar esse “ímã” e o torque é máximo quando o plano da espira está paralelo ao campo (pois aí o normal está perpendicular a
).
Passo 3
Calcular a área da espira retangular. Primeiro passo: converter as dimensões para metros:
A área é
Agora o momento magnético da espira:
Este é o módulo de
. (Aqui calculei multiplicando diretamente; se preferir, pense:
.)
Passo 4
Calcular o torque sobre a espira sabendo que o plano da espira é paralelo a
. Nesse caso o vetor normal à espira é perpendicular a
, logo
e
. Então
Arredondando com o número de algarismos significativos compatível com os dados (dois algarismos):
.
Passo 5
Resposta direta da parte (b) (já calculada no Passo 3), com arredondamento apropriado:
Passo 6
Agora a parte (c): queremos o torque máximo que pode ser obtido sobre um fio com o mesmo comprimento total da espira e conduzindo a mesma corrente no mesmo campo.
Interpretando: o fio com o mesmo comprimento total pode ser formado em qualquer laço fechado; para um laço fechado de comprimento fixo, a área máxima que se pode obter é a da circunferência (princípio isoperimétrico: entre todas as curvas de perímetro fixo, a circunferência tem maior área). Portanto para maximizar o torque (já que
), devemos usar a forma circular.
Passos para calcular:
- comprimento total do fio (perímetro da espira retangular):
- para uma circunferência de comprimento
, o raio vale
- área máxima
é a área do círculo:
- então o maior momento magnético possível com esse fio é
- e o torque máximo (com
, plano paralelo a ) é
Passo 7
Agora calcular numericamente
. Primeiro
:
Então
Logo
E finalmente
Arredondando com dois algarismos significativos:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)