Em um experimento para determinar o calor específico de um metal, uma amostra de 80,0 \mathrm{~g} é aquecida a 95^{\circ} \mathrm{C} e colocada em 200 mL de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura final do sistema é 25^{\circ} \mathrm{C}. A capacidade térmica do calorimetro é 40 \mathrm{~J} /{ }^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcule o calor específico do metal.
b) Repita o cálculo considerando que a capacidade térmica do calorímetro é desprezivel. Compare os resultados.
c) Se o experimento for repetido com o mesmo metal, mas com massa de 140,0 \mathrm{~g}, qual será a nova temperatura de equilíbrio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Massa da amostra de metal: m_m=80{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do metal: T_{m,i}=95^\circ\mathrm{C}.
  • Volume de água: 200\\ \mathrm{mL}. Como a densidade da água é 1{,}00\\ \mathrm{g/mL}, a massa da água é m_w=200\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial da água: T_{w,i}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final de equilíbrio: T_f=25^\circ\mathrm{C}.
  • Capacidade térmica do calorímetro: C_{\mathrm{cal}}=40\\ \mathrm{J/^\circ C}.
  • Calor específico da água (valor padrão usado): c_w=4{,}18\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}.
O enunciado pede:
(a) Calcular o calor específico do metal c_m considerando a capacidade térmica do calorímetro dada.
(b) Repetir o cálculo desprezando a capacidade térmica do calorímetro e comparar os resultados.
(c) Repetir o experimento com a mesma temperatura inicial do metal ( 95^\circ\mathrm{C}) e mesma água, mas com massa do metal m_m=140{,}0\\ \mathrm{g}. Determinar a nova temperatura de equilíbrio T_{\mathrm{eq}}.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicação didática curta):
  • Conservação de energia térmica em um sistema isolado: o calor perdido pelo metal é igual ao calor ganho pela água mais o calor ganho pelo calorímetro.
  • Calor trocado por uma substância com massa m, calor específico c e variação de temperatura \Delta T é dado por:
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q está em joules se m está em gramas e c em \mathrm{J/(g\,^\circ C)}.
  • Para o calorímetro, a quantidade de calor absorvida é:
Q_{\mathrm{cal}} = C_{\mathrm{cal}}\,\Delta T,
onde C_{\mathrm{cal}} tem unidades de \mathrm{J/^\circ C}.
  • No nosso caso, as variações de temperatura (positivas para o que ganha calor) são:
\Delta T_{\text{metal}} = T_{m,i}-T_f,\qquad \Delta T_{\text{água}} = T_f - T_{w,i}.á
  • Equação de conservação de energia (tomando calor perdido pelo metal como positivo numericamente):
m_m\,c_m\,(T_{m,i}-T_f) = m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}) + C_{\mathrm{cal}}\,(T_f-T_{w,i}).
Vou usar essa equação para isolar c_m na parte (a) e para achar T_{\mathrm{eq}} na parte (c).

Passo 3

Cálculo algébrico para obter c_m (parte a). Isolando c_m na equação de conservação:
c_m = \frac{m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}) + C_{\mathrm{cal}}\,(T_f-T_{w,i})}{m_m\,(T_{m,i}-T_f)}.
Observação: todas as grandezas estão em unidades compatíveis (massas em gramas, c em \mathrm{J/(g\,^\circ C)}, C_{\mathrm{cal}} em \mathrm{J/^\circ C}).

Passo 4

Substituição numérica para a parte (a) (mostrar conta passo a passo):
Primeiro calcule as variações de temperatura:
T_{m,i}-T_f = 95^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=70^\circ\mathrm{C},
T_f-T_{w,i} = 25^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=5^\circ\mathrm{C}.
Calor ganho pela água:
m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}) = 200\cdot 4{,}18 \cdot 5.
Calculemos em partes: 4{,}18\cdot 5 = 20{,}9. Então
200\cdot 20{,}9 = 4180\\ \mathrm{J}.
Calor ganho pelo calorímetro:
C_{\mathrm{cal}}\,(T_f-T_{w,i}) = 40 \cdot 5 = 200\\ \mathrm{J}.
Somando as energias absorvidas:
4180 + 200 = 4380\\ \mathrm{J}.
Denominador:
m_m\,(T_{m,i}-T_f) = 80{,}0 \cdot 70 = 5600\\ \mathrm{g\cdot ^\circ C}.
Finalmente,
c_m = \frac{4380}{5600} = 0{,}782142857\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
c_m \approx 0{,}782\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}.

Passo 5

Parte (b): repetir o cálculo desprezando a capacidade térmica do calorímetro ( C_{\mathrm{cal}}=0).
A fórmula reduz-se a
c_m = \frac{m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i})}{m_m\,(T_{m,i}-T_f)}.
Já calculamos m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}) = 4180\\ \mathrm{J} e m_m\,(T_{m,i}-T_f)=5600\\ \mathrm{g\cdot ^\circ C}. Assim
c_m = \frac{4180}{5600} = 0{,}746428571\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}.
Arredondando:
c_m \approx 0{,}746\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}.
Comparação (percentual de diferença em relação ao caso sem calorímetro):
\%\\ \text{diferença} = \frac{0{,}782142857 - 0{,}746428571}{0{,}746428571}\times 100\% \approx 4{,}83\%.ç
Comentário curto: incluir a capacidade do calorímetro aumenta o valor calculado de c_m em cerca de 4{,}8\% aqui — ou seja, desconsiderar o calorímetro levaria a subestimar o calor específico do metal.

Passo 6

Parte (c): novo equilíbrio com m_m=140{,}0\\ \mathrm{g}. Usaremos o valor de c_m calculado na parte (a), ou seja c_m=0{,}782142857\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)} (mantendo precisão interna para cálculo).
Equação de conservação de energia agora com incógnita T_{\mathrm{eq}} (denotarei T):
m_m\,c_m\,(T_{m,i}-T) = m_w\,c_w\,(T-T_{w,i}) + C_{\mathrm{cal}}\,(T-T_{w,i}).
Isolando T:
T\bigl(m_m\,c_m + m_w\,c_w + C_{\mathrm{cal}}\bigr) = m_m\,c_m\,T_{m,i} + (m_w\,c_w + C_{\mathrm{cal}})\,T_{w,i}.
Portanto
T = \frac{m_m\,c_m\,T_{m,i} + (m_w\,c_w + C_{\mathrm{cal}})\,T_{w,i}}{m_m\,c_m + m_w\,c_w + C_{\mathrm{cal}}}.
Agora substituímos números (mostrar as contas):
  • m_m\,c_m = 140{,}0\cdot 0{,}782142857 = 109{,}5\\ \mathrm{J/^\circ C} (valor exato até a casa decimal usada).
  • m_w\,c_w = 200\cdot 4{,}18 = 836\\ \mathrm{J/^\circ C}.
  • m_w\,c_w + C_{\mathrm{cal}} = 836 + 40 = 876\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Numerador:
m_m\,c_m\,T_{m,i} + (m_w\,c_w + C_{\mathrm{cal}})\,T_{w,i} = 109{,}5\cdot 95 + 876\cdot 20.
Calculemos:
109{,}5\cdot 95 = 109{,}5\cdot(100-5) = 10950 - 547{,}5 = 10402{,}5,
876\cdot 20 = 17520.
Então numerador = 10402{,}5 + 17520 = 27922{,}5.
Denominador:
m_m\,c_m + m_w\,c_w + C_{\mathrm{cal}} = 109{,}5 + 836 + 40 = 985{,}5.
Logo
T = \frac{27922{,}5}{985{,}5} \approx 28{,}333\ldots^\circ\mathrm{C}.
Arredondando sensatamente:
T_{\mathrm{eq}} \approx 28{,}33^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: aumentando a massa do metal de 80{,}0\\ \mathrm{g} para 140{,}0\\ \mathrm{g} (mantendo temperatura inicial igual), a temperatura de equilíbrio sobe de 25^\circ\mathrm{C} para cerca de 28{,}33^\circ\mathrm{C}, porque há mais calor disponível vindo do metal.

Resposta

(a) c_m \approx 0{,}782\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}
(b) c_m \approx 0{,}746\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}. Diferença: aproximadamente 4{,}83\% (o valor com calorímetro é maior).
(c) T_{\mathrm{eq}} \approx 28{,}33^\circ\mathrm{C}

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