- Explique, com suas palavras, como determinar a expressão matemática da função inversa
a partir da expressão matemática de
.
Passo 1
O enunciado pede para explicar o procedimento geral de obter a expressão de
a partir da expressão de
. O conteúdo é funções inversas, e vamos precisar entender: 1) quando uma função tem inversa (bijetividade) e 2) o truque algébrico de “trocar” variáveis e isolar.
Passo 2
Antes de tentar achar a inversa, confira se
é invertível. Isso exige que
seja injetora (não atribui o mesmo valor de saída a dois valores diferentes de entrada) e sobrejetora (atinge todo o conjunto-alvo). Na prática de cálculo, geralmente você garante injetividade vendo que
é monotônica (sempre crescente ou sempre decrescente) no domínio considerado.
Passo 3
Supondo que
seja invertível, o passo algébrico essencial é:
- Escreva
. - Troque nomes: renomeie
por e por . Isso reflete a ideia de inverter papéis de domínio e imagem. Agora você terá uma equação . - Isole
em função de . A expressão que aparecer é justamente .
Passo 4
Depois de obter
, é bom verificar a inversão “na prática”: compor as funções e confirmar
no domínio adequado. Isso assegura que você realmente isolou a variável certa e respeitou as restrições de domínio e contradomínio.
Resposta
Para encontrar a fórmula de
, certifique-se que
é bijetora; escreva
, troque
por
e
por
, e então isole
. O resultado é
.