1. Explique, com suas palavras, como determinar a expressão matemática da função inversa y= f^{-1}(x) a partir da expressão matemática de y=f(x).

Passo 1

O enunciado pede para explicar o procedimento geral de obter a expressão de y=f^{-1}(x) a partir da expressão de y=f(x). O conteúdo é funções inversas, e vamos precisar entender: 1) quando uma função tem inversa (bijetividade) e 2) o truque algébrico de “trocar” variáveis e isolar.

Passo 2

Antes de tentar achar a inversa, confira se f é invertível. Isso exige que f seja injetora (não atribui o mesmo valor de saída a dois valores diferentes de entrada) e sobrejetora (atinge todo o conjunto-alvo). Na prática de cálculo, geralmente você garante injetividade vendo que f é monotônica (sempre crescente ou sempre decrescente) no domínio considerado.

Passo 3

Supondo que f seja invertível, o passo algébrico essencial é:
  1. Escreva y=f(x).
  2. Troque nomes: renomeie x por y e y por x. Isso reflete a ideia de inverter papéis de domínio e imagem. Agora você terá uma equação x = f(y).
  3. Isole y em função de x. A expressão que aparecer é justamente y = f^{-1}(x).

Passo 4

Depois de obter y=f^{-1}(x), é bom verificar a inversão “na prática”: compor as funções e confirmar
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x \quad\text{e}\quad f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x
no domínio adequado. Isso assegura que você realmente isolou a variável certa e respeitou as restrições de domínio e contradomínio.

Resposta

Para encontrar a fórmula de f^{-1}, certifique-se que f é bijetora; escreva y=f(x), troque x por y e y por x, e então isole y. O resultado é y=f^{-1}(x).

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