Dadas as funções
a seguir, determine, se possível, as funções inversas
. Determine também
e
.
а)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
;
i)
;
ј)
;
k)
;
-
;
m)
;
n)
.
а)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
m)
n)
Passo 1
Temos 14 funções
e para cada uma queremos (i)
, (ii)
quando existir e (iii)
. O método geral é:
- Determinar o domínio natural ou restrito de
. - Verificar se
é injetora em . Se não, concluímos que não há inversa global. - Quando injetora, resolver a equação
em função de , trocar e reescrever . - O domínio de
é a imagem , isto é, o conjunto de valores que assume em .
Passo 2
Aplicamos esse método caso a caso, lembrando que:
– Funções lineares, exponenciais e logaritmos padrão são sempre injetoras em seus domínios naturais.
– Polinômios de grau par sem restrição de domínio não são injetores.
– Raízes ímpares e composições de funções ímpares crescentes são injetoras em .
– Radicais de índice par exigem domínio tal que o radicando seja não negativo e podem não ser injetores se o gráfico não for monotônico.
– Funções lineares, exponenciais e logaritmos padrão são sempre injetoras em seus domínios naturais.
– Polinômios de grau par sem restrição de domínio não são injetores.
– Raízes ímpares e composições de funções ímpares crescentes são injetoras em
– Radicais de índice par exigem domínio tal que o radicando seja não negativo e podem não ser injetores se o gráfico não for monotônico.
Resposta
a)
,
,
.
b)
,
não é injetora em ⇒ sem inversa.
não é injetora em
c)
,
,
.
d)
,
resolvendo ⇒
,
,
.
resolvendo
e)
,
resolvendo ⇒
,
,
.
resolvendo
f)
domínio ⇒
,
o gráfico não é monotônico em todo ⇒ sem inversa global.
domínio
o gráfico não é monotônico em todo
g)
,
resolvendo ⇒
,
,
.
resolvendo
h)
,
resolvendo ⇒
,
,
.
resolvendo
i)
,
,
⇒
,
,
.
j)
,
,
⇒
,
,
.
k)
,
,
⇒
,
,
.
l)
,
inversa ⇒
,
.
inversa
m)
,
⇒
⇒
,
,
.
n)
,
não é injetora (mesmo valor para e
) ⇒ sem inversa global.
não é injetora (mesmo valor para