Dadas as funções y=f(x) a seguir, determine, se possível, as funções inversas y=f^{-1}(x). Determine também D_{f} e D_{f^{-1}}.
а) y=2 x-1;
b) y=x^{2}-4;
c) y=\sqrt[5]{x^{3}-1};
d) y=\frac{x+2}{x-4};
e) y=x^{2}+1 \operatorname{com} x \geq 0;
f) y=\sqrt{x^{2}-5 x};
g) y=\left(x^{3}+1\right)^{3};
h) y=(x+2)^{3}+1;
i) y=3^{x+1};
ј) y=5 \cdot 2^{x-1};
k) y=4^{x}-2;
  1. y=\log _{3} x;
    m) y=2 \log _{5}(x-1);
    n) y=\frac{\ln \left(x^{2}\right)}{3}.

Passo 1

Temos 14 funções y=f(x) e para cada uma queremos (i) D_{f}, (ii) f^{-1}(x) quando existir e (iii) D_{f^{-1}}. O método geral é:
  1. Determinar o domínio natural ou restrito de f.
  2. Verificar se f é injetora em D_{f}. Se não, concluímos que não há inversa global.
  3. Quando injetora, resolver a equação y=f(x) em função de x, trocar x\leftrightarrow y e reescrever y=f^{-1}(x).
  4. O domínio de f^{-1} é a imagem \operatorname{Im}f, isto é, o conjunto de valores y que f assume em D_{f}.

Passo 2

Aplicamos esse método caso a caso, lembrando que:
– Funções lineares, exponenciais e logaritmos padrão são sempre injetoras em seus domínios naturais.
– Polinômios de grau par sem restrição de domínio não são injetores.
– Raízes ímpares e composições de funções ímpares crescentes são injetoras em \mathbb{R}.
– Radicais de índice par exigem domínio tal que o radicando seja não negativo e podem não ser injetores se o gráfico não for monotônico.

Resposta

a) y=2x-1 D_{f}=\mathbb{R}, f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}, D_{f^{-1}}=\mathbb{R}.
b) y=x^{2}-4 D_{f}=\mathbb{R},
não é injetora em \mathbb{R} ⇒ sem inversa.
c) y=\sqrt[5]{x^{3}-1}=(x^{3}-1)^{1/5} D_{f}=\mathbb{R}, f^{-1}(x)=\bigl(x^{5}+1\bigr)^{1/3}, D_{f^{-1}}=\mathbb{R}.
d) y=\frac{x+2}{x-4} D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{4\},
resolvendo y(x-4)=x+2 x=\frac{4y+2}{y-1}, f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{x-1}, D_{f^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
e) y=x^{2}+1,\;x\ge0 D_{f}=[0,\infty),
resolvendo y-1=x^{2} x=\sqrt{y-1}, f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}, D_{f^{-1}}=[1,\infty).
f) y=\sqrt{x^{2}-5x}
domínio x^{2}-5x\ge0 x\in(-\infty,0]\cup[5,\infty),
o gráfico não é monotônico em todo D_f ⇒ sem inversa global.
g) y=(x^{3}+1)^{3} D_{f}=\mathbb{R},
resolvendo y^{1/3}=x^{3}+1 x=(y^{1/3}-1)^{1/3}, f^{-1}(x)=\bigl(x^{1/3}-1\bigr)^{1/3}, D_{f^{-1}}=\mathbb{R}.
h) y=(x+2)^{3}+1 D_{f}=\mathbb{R},
resolvendo y-1=(x+2)^{3} x=(y-1)^{1/3}-2, f^{-1}(x)=(x-1)^{1/3}-2, D_{f^{-1}}=\mathbb{R}.
i) y=3^{x+1} D_{f}=\mathbb{R}, \operatorname{Im}f=(0,\infty), \ln y=(x+1)\ln3 x=\frac{\ln y}{\ln3}-1, f^{-1}(x)=\frac{\ln x}{\ln3}-1, D_{f^{-1}}=(0,\infty).
j) y=5\cdot2^{x-1} D_{f}=\mathbb{R}, \operatorname{Im}f=(0,\infty), \frac{y}{5}=2^{x-1} x=1+\frac{\ln(y/5)}{\ln2}, f^{-1}(x)=1+\frac{\ln(x/5)}{\ln2}, D_{f^{-1}}=(0,\infty).
k) y=4^{x}-2 D_{f}=\mathbb{R}, \operatorname{Im}f=(-2,\infty), 4^{x}=y+2 x=\frac{\ln(y+2)}{\ln4}, f^{-1}(x)=\frac{\ln(x+2)}{\ln4}, D_{f^{-1}}=(-2,\infty).
l) y=\log_{3}x D_{f}=(0,\infty),
inversa x=3^{y} f^{-1}(x)=3^{x}, D_{f^{-1}}=\mathbb{R}.
m) y=2\log_{5}(x-1) D_{f}=(1,\infty), \log_{5}(x-1)=\tfrac{y}{2} x-1=5^{y/2} x=1+5^{y/2}, f^{-1}(x)=1+5^{x/2}, D_{f^{-1}}=\mathbb{R}.
n) y=\tfrac{\ln(x^{2})}{3} D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\},
não é injetora (mesmo valor para x e -x) ⇒ sem inversa global.

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