1. Dada y=f(x), defina, com suas palavras, a função inversa y=f^{-1}(x). Qual a relação entre os domínios e imagens de f(x) e f^{-1}(x) ?

Passo 1

O enunciado pede para definirmos, em palavras, o que é a função inversa de uma dada função f e, em seguida, descrever a relação entre domínio e imagem de f e de f^{-1}. O conteúdo envolve conceitos de bijetividade (injeção e sobrejeção), definição de inversa e troca de papéis entre domínio e imagem.

Passo 2

Para que exista a função inversa f^{-1}, a função original f\colon A\to B deve ser bijetora, ou seja, injetora (cada valor da imagem vem de um único valor do domínio) e sobrejetora (todo elemento de B é atingido por algum x\in A).

Passo 3

Em palavras, a função inversa f^{-1} é aquela que “desfaz” f: se y=f(x), então f^{-1}(y)=x. Formalmente, para todo x\in A e todo y\in B tais que y=f(x), valem
f^{-1}(y)=x,\quad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y,\quad f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.

Passo 4

Como f leva elementos de A para B, seu domínio é A e sua imagem (conjunto de todas as saídas) é um subconjunto de B. A inversa inverte esse papel: o domínio de f^{-1} é exatamente a imagem de f, e a imagem de f^{-1} é o domínio original de f.

Resposta

A função inversa de f é a que, dado um valor de saída y, retorna o valor original x tal que f(x)=y. \mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Im}(f) e \mathrm{Im}(f^{-1})=\mathrm{Dom}(f).

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