Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow-3^{+}} f(x)=-4

Passo 1

O enunciado fornece a expressão \lim_{x\to-3^{+}} f(x)=-4 e pede três coisas:
  • uma explicação em palavras do que isso significa;
  • a expressão matemática precisa (a definição formal);
  • um exemplo concreto de uma função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Explicação em palavras, bem direta e no meu tom de amigo: \lim_{x\to-3^{+}} f(x)=-4 quer dizer que quando x se aproxima de -3 vindo pela direita (isto é, por valores ligeiramente maiores que -3), os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de -4. Em outras palavras, mesmo que f(-3) exista ou não, ou mesmo que f(-3) seja outro número, os valores de f(x) para x>-3 e próximos de -3 ficam cada vez mais próximos de -4 quando x se aproxima de -3 por cima.
Dica prática para prova: “vir pela direita” significa olhar só para x>-3. Se você conseguir fazer f(x) ficar dentro de qualquer intervalo pequeno em torno de -4 sempre que x estiver em (-3, -3+\delta) (com \delta pequeno), então a condição vale.

Passo 3

Definição formal (a forma rigorosa, com \varepsilon- \delta): a afirmação
\lim_{x\to-3^{+}} f(x) = -4
significa exatamente que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, sempre que }0 < x+3 < \delta,\\ \text{temos }|f(x)+4|<\varepsilon.
Aqui explico cada parte:
  • \varepsilon>0 é a precisão que eu quero para o valor de f(x) em relação a -4: quero que f(x) esteja dentro do intervalo (-4-\varepsilon,\,-4+\varepsilon).
  • \delta>0 é o quanto eu me aproximo de -3 pelo lado direito: exige-se que x satisfaça x\in(-3,-3+\delta), o que escrevemos como 0<x+3<\delta.
  • A condição 0<x+3<\delta garante que estamos olhando apenas para pontos x maiores que -3 (ou seja, aproximando pela direita) e diferentes de -3.
  • A desigualdade |f(x)+4|<\varepsilon diz que f(x) está dentro de \varepsilon de -4.
Frase curta: para qualquer tolerância em torno de -4 (qualquer \varepsilon), existe uma janela à direita de -3 (um \delta) em que todos os f(x) nessa janela caem dentro da tolerância.

Passo 4

Observação importante sobre valor no ponto: a existência de \lim_{x\to-3^{+}} f(x) e o valor do limite não dependem do valor de f exatamente em x=-3. Ou seja, é possível que f(-3) seja -4, ou qualquer outro número, ou mesmo que f(-3) não esteja definido — o limite pela direita continua a olhar apenas os x próximos de -3 com x>-3.

Passo 5

Exemplo 1 — exemplo trivial e seguro para prova (função constante):
Defina
f(x)=-4\quad\text{para todo }x.
Verificação rápida: para qualquer \varepsilon>0 e qualquer x com 0<x+3<\delta (qualquer \delta>0), tem-se |f(x)+4|=|{-4}+4|=0<\varepsilon. Logo \lim_{x\to-3^{+}} f(x)=-4. Esse exemplo é o mais simples: a função já vale -4 em todo lugar.

Passo 6

Exemplo 2 — destaca que o valor em -3\) pode ser diferente: Defina a função em partes \[f(x)= \begin{cases} -4, & x>-3,\\[4pt] 0, & x=-3,\\[4pt] 100, & x<-3. \end{cases}
Verificação: para x>-3\] e próximos de \(-3 temos f(x)=-4, então novamente |f(x)+4|=0<\varepsilon para qualquer \varepsilon. Assim \lim_{x\to-3^{+}} f(x)=-4 mesmo que f(-3)=0 e o comportamento à esquerda seja totalmente diferente. Isso ilustra bem a independência do valor no ponto.]

Passo 7

Exemplo 3 — um exemplo “suave” com cálculo de \delta\) explícito: Defina \[f(x)= \begin{cases} -4+(x+3), & x>-3,\\[4pt] 0, & x\le-3. \end{cases}
Para x>-3\] vale \(f(x)+4=x+3. Dado \varepsilon>0, se escolhermos \delta=\varepsilon então, sempre que 0<x+3<\delta, teremos
|f(x)+4|=|x+3|<\delta=\varepsilon.
Logo \lim_{x\to-3^{+}} f(x)=-4. Esse exemplo mostra como, na prática, escolhe-se \delta em função de \varepsilon (aqui de forma direta: \delta=\varepsilon).]

Passo 8

Resumo final e dica para prova: ao ver \lim_{x\to a^{+}} f(x)=L pense (1) só em x>a, (2) para qualquer tolerância \varepsilon em torno de L existe uma faixa à direita de a em que todos os f(x) estão nessa tolerância, e (3) o valor f(a) pode ser qualquer coisa — não afeta o limite. Na prova, se der para escrever uma expressão simples para |f(x)-L| em termos de |x-a|, use-a para determinar \delta em função de \varepsilon.

Resposta

A expressão significa que, ao aproximar x de -3 pela direita, os valores de f(x) aproximam-se arbitrariamente de -4.
\text{Formalmente: }\forall\varepsilon>0\\ \exists\delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<x+3<\delta\Rightarrow |f(x)+4|<\varepsilon.
Um exemplo de função que satisfaz a condição é
f(x)=\begin{cases}-4+(x+3), & x>-3,\\[4pt]0, & x\le-3.\end{cases}]

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