Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
Passo 1
O enunciado fornece a expressão
e pede três coisas:
- uma explicação em palavras do que isso significa;
- a expressão matemática precisa (a definição formal);
- um exemplo concreto de uma função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Explicação em palavras, bem direta e no meu tom de amigo:
quer dizer que quando
se aproxima de
vindo pela direita (isto é, por valores ligeiramente maiores que
), os valores de
ficam arbitrariamente próximos de
. Em outras palavras, mesmo que
exista ou não, ou mesmo que
seja outro número, os valores de
para
e próximos de
ficam cada vez mais próximos de
quando
se aproxima de
por cima.
Dica prática para prova: “vir pela direita” significa olhar só para
. Se você conseguir fazer
ficar dentro de qualquer intervalo pequeno em torno de
sempre que
estiver em
(com
pequeno), então a condição vale.
Passo 3
Definição formal (a forma rigorosa, com
-
): a afirmação
significa exatamente que
Aqui explico cada parte:
-
é a precisão que eu quero para o valor de em relação a : quero que esteja dentro do intervalo . -
é o quanto eu me aproximo de pelo lado direito: exige-se que satisfaça , o que escrevemos como . - A condição
garante que estamos olhando apenas para pontos maiores que (ou seja, aproximando pela direita) e diferentes de . - A desigualdade
diz que está dentro de de .
Frase curta: para qualquer tolerância em torno de
(qualquer
), existe uma janela à direita de
(um
) em que todos os
nessa janela caem dentro da tolerância.
Passo 4
Observação importante sobre valor no ponto: a existência de
e o valor do limite não dependem do valor de
exatamente em
. Ou seja, é possível que
seja
, ou qualquer outro número, ou mesmo que
não esteja definido — o limite pela direita continua a olhar apenas os
próximos de
com
.
Passo 5
Exemplo 1 — exemplo trivial e seguro para prova (função constante):
Defina
Defina
Verificação rápida: para qualquer
e qualquer
com
(qualquer
), tem-se
. Logo
. Esse exemplo é o mais simples: a função já vale
em todo lugar.
Passo 6
Exemplo 2 — destaca que o valor em
Verificação: para
temos
, então novamente
para qualquer
. Assim
mesmo que
e o comportamento à esquerda seja totalmente diferente. Isso ilustra bem a independência do valor no ponto.]
Passo 7
Exemplo 3 — um exemplo “suave” com cálculo de
Para
. Dado
, se escolhermos
então, sempre que
, teremos
Logo
. Esse exemplo mostra como, na prática, escolhe-se
em função de
(aqui de forma direta:
).]
Passo 8
Resumo final e dica para prova: ao ver
pense (1) só em
, (2) para qualquer tolerância
em torno de
existe uma faixa à direita de
em que todos os
estão nessa tolerância, e (3) o valor
pode ser qualquer coisa — não afeta o limite. Na prova, se der para escrever uma expressão simples para
em termos de
, use-a para determinar
em função de
.
Resposta
A expressão significa que, ao aproximar
de
pela direita, os valores de
aproximam-se arbitrariamente de
.
Um exemplo de função que satisfaz a condição é