Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função usando conceitos de derivada. A função dada é
Informações fornecidas (apenas o que o enunciado dá):
- A expressão analítica de
: . - Nenhuma figura ou restrição extra foi dada.
As tarefas implícitas que vamos responder passo a passo:
- determinar domínio e descontinuidades;
- encontrar assíntotas (verticais e horizontais);
- interceptos com eixos;
- derivada primeira: pontos críticos e monotonicidade;
- derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão;
- comportamento próximo às assíntotas e no infinito;
- reunir tudo para esboçar (descrever) o gráfico.
Passo 2
Domínio e pontos onde a função não está definida.
A função é uma razão e o denominador não pode ser zero. Então devemos resolver
Isso ocorre quando
, ou seja,
. Portanto o domínio é todos os reais exceto esses pontos:
Esses pontos
são candidatos a assíntotas verticais (a confirmar pelos limites laterais).
Passo 3
Simplificação útil e assíntota horizontal.
É prático fazer divisão polinomial (ou notar que os graus do numerador e denominador são iguais). Calculando,
Explicação rápida (como fizemos): multiplicando
por
obtém-se
; subtraindo deste termo do numerador sobra
, daí o termo
.
A partir dessa forma vê-se o comportamento para
:
ou seja, existe uma assíntota horizontal em
. Observação: a função nunca atinge exatamente
, pois
nunca é zero.
Passo 4
Assíntotas verticais (comportamento próximo a
).
Como o denominador anula em
, vamos ver os limites laterais usando a expressão
.
- Para
: (pequeno e positivo), então . Logo
- Para
: (pequeno e negativo), então . Logo
- Para
(chegando em pela direita): , então - Para
: , então
Portanto
são assíntotas verticais, com comportamento divergente de lados opostos (sinal troca ao atravessar a assíntota).
Passo 5
Interceptos com os eixos.
- Interseção com o eixo
(quando ):
Logo o ponto
é o intercepto com
.
- Zeros da função (interseção com eixo
): resolver . Isso exige , que não tem solução real. Logo não há interseções com o eixo .
Passo 6
Cálculo da derivada primeira e interpretação (monotonicidade).
Primeiro, ensinando a técnica: para derivar uma função racional pode-se usar a regra do quociente ou derivar a forma simplificada. Usaremos a forma
e a regra da cadeia para
.
Derivando,
Pela regra da cadeia,
. Tomando
e
, obtemos
Multiplicando por
,
Interpretação do sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo para . - Assim o sinal de
é igual ao sinal de .
Portanto:
- Para
: (função decrescente). - Para
: (ponto crítico). - Para
: (função crescente).
Lembrando do domínio dividido por
e
, concluímos monotonicidade por intervalos:
- Decrescente em
e em . - Crescente em
e em .
O ponto
é ponto crítico e, já que
troca de negativo para positivo ao passar por 0, trata-se de um mínimo local. Avaliando
, temos um mínimo local em
. Porque a função sobe para
em direção a
dentro do intervalo
, esse mínimo é também o mínimo global no intervalo
.
Passo 7
Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão.
Vamos derivar
. Explicando: usa-se a regra do produto e a cadeia.
Calculemos:
Aqui o segundo termo vem de derivar
pela regra da cadeia:
vezes a derivada interna
.
Simplificando:
Colocando em fator comum
:
Observações sobre o sinal:
- O numerador
é sempre positivo (já que para todo ). - O sinal de
é determinado, portanto, pelo sinal de , isto é, pelo sinal de . - Se
, então e : concavidade para cima em . - Se
, então e : concavidade para baixo em e em .
- Se
Pontos de inflexão: aconteceriam quando
num ponto do domínio. Como o numerador nunca zera, não existem raízes de
; a concavidade só muda ao atravessar
, que não pertencem ao domínio. Portanto não há pontos de inflexão reais na região de definição da função.
Passo 8
Comportamento nos extremos e conjunto imagem (intervalo de valores).
Já vimos limites nas assíntotas; resumindo os limites principais (úteis para esboçar):
- Limites perto das assíntotas:
- Limites no infinito:
e, como observado, quando a aproximação é por valores menores que (ou seja, aproxima-se de por baixo), pois para grandes a fração é pequena e negativa.
Agora o conjunto imagem (range). Observando monotonicidade e limites:
- No intervalo
a função tem mínimo em com e tende a quando (pelos lados interiores). Então a imagem de é . - Em
, a função é crescente, tende a quando e tende a quando (por baixo). Logo a imagem de é . - Em
, similarmente, a imagem é .
Assim, a imagem total é
Passo 9
Resumo das características essenciais para o esboço (o que desenhar e como).
Pontos e assíntotas a marcar no desenho:
- Domínio:
. - Assíntotas verticais: linhas
e . - Assíntota horizontal: linha
. - Intercepto com
: (ponto ). - Não há intercepto com
(nenhum zero real). - Comportamento junto às assíntotas:
- Em
: a curva desce de (quando ) até o mínimo , depois sobe para (quando ). Concavidade para cima em todo o intervalo . - Em
: a curva sai de em , é crescente e concava para baixo, e aproxima-se de por baixo quando . - Em
: a curva sai de por baixo quando , é decrescente e concava para baixo, e vai para quando .
- Em
- Monotonicidade: decrescente para
(nos dois ramos negativos) e crescente para (nos dois ramos positivos), respeitando as quebras em . - Curvatura (concavidade): côncava para cima em
, côncava para baixo em e . - Não há pontos de inflexão no domínio.
Como esboçar na prática (passo a passo no papel):
- Trace retas verticais em
e (assíntotas verticais) e a reta horizontal . - Marque o ponto
. - No intervalo central
: desenhe uma curva côncava para cima que vem de ao se aproximar de , desce para , e sobe novamente para ao se aproximar de . - No ramo direito
: desenhe uma curva que parte de em , cresce de forma côncava para baixo e tende assintoticamente a por baixo. - No ramo esquerdo
: desenhe uma curva que vem de por baixo quando , decresce (concava para baixo) e desce para ao chegar em .
Resposta
Domínio:
.
Assíntotas verticais: e
.
Assíntota horizontal: .
Intercepto com :
.
Zeros: nenhum.
Derivada:
função decrescente para
, crescente para
; ponto crítico
(mínimo local em
).
Segunda derivada:
côncava para cima em
, côncava para baixo em
e
; sem pontos de inflexão no domínio.
Imagem (range): .
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Intercepto com
Zeros: nenhum.
Derivada:
Segunda derivada:
Imagem (range):