Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=\frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função usando conceitos de derivada. A função dada é
f(x)=\frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}.
Informações fornecidas (apenas o que o enunciado dá):
  • A expressão analítica de f: \dfrac{4+x^{2}}{4-x^{2}}.
  • Nenhuma figura ou restrição extra foi dada.
As tarefas implícitas que vamos responder passo a passo:
  • determinar domínio e descontinuidades;
  • encontrar assíntotas (verticais e horizontais);
  • interceptos com eixos;
  • derivada primeira: pontos críticos e monotonicidade;
  • derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão;
  • comportamento próximo às assíntotas e no infinito;
  • reunir tudo para esboçar (descrever) o gráfico.

Passo 2

Domínio e pontos onde a função não está definida.
A função é uma razão e o denominador não pode ser zero. Então devemos resolver
4-x^{2}=0.
Isso ocorre quando x^{2}=4, ou seja, x=\pm 2. Portanto o domínio é todos os reais exceto esses pontos:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\,\}.
Esses pontos x=\pm 2 são candidatos a assíntotas verticais (a confirmar pelos limites laterais).

Passo 3

Simplificação útil e assíntota horizontal.
É prático fazer divisão polinomial (ou notar que os graus do numerador e denominador são iguais). Calculando,
\frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}=-1+\frac{8}{4-x^{2}}.
Explicação rápida (como fizemos): multiplicando -1 por 4-x^{2} obtém-se -4+x^{2}; subtraindo deste termo do numerador sobra 8, daí o termo \dfrac{8}{4-x^{2}}.
A partir dessa forma vê-se o comportamento para |x|\to\infty:
\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = -1,
ou seja, existe uma assíntota horizontal em y=-1. Observação: a função nunca atinge exatamente -1, pois \dfrac{8}{4-x^{2}} nunca é zero.

Passo 4

Assíntotas verticais (comportamento próximo a x=\pm 2).
Como o denominador anula em x=\pm 2, vamos ver os limites laterais usando a expressão -1+\dfrac{8}{4-x^{2}}.
  • Para x\to 2^{-}: 4-x^{2}\to 0^{+} (pequeno e positivo), então \dfrac{8}{4-x^{2}}\to +\infty. Logo
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=+\infty.
  • Para x\to 2^{+}: 4-x^{2}\to 0^{-} (pequeno e negativo), então \dfrac{8}{4-x^{2}}\to -\infty. Logo
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=-\infty.
  • Para x\to -2^{+} (chegando em -2 pela direita): 4-x^{2}\to 0^{+}, então \lim_{x\to -2^{+}} f(x)=+\infty.
  • Para x\to -2^{-}: 4-x^{2}\to 0^{-}, então \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=-\infty.
Portanto x=\pm 2 são assíntotas verticais, com comportamento divergente de lados opostos (sinal troca ao atravessar a assíntota).

Passo 5

Interceptos com os eixos.
  • Interseção com o eixo y (quando x=0):
f(0)=\frac{4+0}{4-0}=1.
Logo o ponto (0,1) é o intercepto com y.
  • Zeros da função (interseção com eixo x): resolver \dfrac{4+x^{2}}{4-x^{2}}=0. Isso exige 4+x^{2}=0, que não tem solução real. Logo não há interseções com o eixo x.

Passo 6

Cálculo da derivada primeira e interpretação (monotonicidade).
Primeiro, ensinando a técnica: para derivar uma função racional pode-se usar a regra do quociente ou derivar a forma simplificada. Usaremos a forma -1+\dfrac{8}{4-x^{2}} e a regra da cadeia para (4-x^{2})^{-1}.
Derivando,
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(-1+\frac{8}{4-x^{2}}\right) =8\cdot\frac{d}{dx}\left(4-x^{2}\right)^{-1}.
Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}(u^{-1})=-u^{-2}u'. Tomando u=4-x^{2} e u'=-2x, obtemos
\frac{d}{dx}\left(4-x^{2}\right)^{-1}=(-1)(4-x^{2})^{-2}\cdot(-2x)=\frac{2x}{(4-x^{2})^{2}}.
Multiplicando por 8,
f'(x)=\frac{16x}{(4-x^{2})^{2}}.
Interpretação do sinal de f':
  • O denominador (4-x^{2})^{2} é sempre positivo para x\neq\pm2.
  • Assim o sinal de f'(x) é igual ao sinal de x.
Portanto:
  • Para x<0: f'(x)<0 (função decrescente).
  • Para x=0: f'(0)=0 (ponto crítico).
  • Para x>0: f'(x)>0 (função crescente).
Lembrando do domínio dividido por -2 e 2, concluímos monotonicidade por intervalos:
  • Decrescente em (-\infty,-2) e em (-2,0).
  • Crescente em (0,2) e em (2,\infty).
O ponto x=0 é ponto crítico e, já que f' troca de negativo para positivo ao passar por 0, trata-se de um mínimo local. Avaliando f(0)=1, temos um mínimo local em (0,1). Porque a função sobe para +\infty em direção a \pm 2 dentro do intervalo (-2,2), esse mínimo é também o mínimo global no intervalo (-2,2).

Passo 7

Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão.
Vamos derivar f'(x)=16x(4-x^{2})^{-2}. Explicando: usa-se a regra do produto e a cadeia.
Calculemos:
f''(x)=16(4-x^{2})^{-2}+16x\cdot(-2)(4-x^{2})^{-3}\cdot(-2x).
Aqui o segundo termo vem de derivar (4-x^{2})^{-2} pela regra da cadeia: (-2)(4-x^{2})^{-3} vezes a derivada interna (-2x).
Simplificando:
f''(x)=16(4-x^{2})^{-2}+64x^{2}(4-x^{2})^{-3}.
Colocando em fator comum 16(4-x^{2})^{-3}:
f''(x)=16\frac{4+3x^{2}}{(4-x^{2})^{3}}.
Observações sobre o sinal:
  • O numerador 16(4+3x^{2}) é sempre positivo (já que 4+3x^{2}>0 para todo x).
  • O sinal de f''(x) é determinado, portanto, pelo sinal de (4-x^{2})^{3}, isto é, pelo sinal de 4-x^{2}.
    • Se |x|<2, então 4-x^{2}>0 e f''(x)>0: concavidade para cima em (-2,2).
    • Se |x|>2, então 4-x^{2}<0 e f''(x)<0: concavidade para baixo em (-\infty,-2) e em (2,\infty).
Pontos de inflexão: aconteceriam quando f''(x)=0 num ponto do domínio. Como o numerador nunca zera, não existem raízes de f''; a concavidade só muda ao atravessar x=\pm 2, que não pertencem ao domínio. Portanto não há pontos de inflexão reais na região de definição da função.

Passo 8

Comportamento nos extremos e conjunto imagem (intervalo de valores).
Já vimos limites nas assíntotas; resumindo os limites principais (úteis para esboçar):
  • Limites perto das assíntotas: \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=-\infty,
\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=-\infty.
  • Limites no infinito: \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=-1,e, como observado, quando x\to\pm\infty a aproximação é por valores menores que -1 (ou seja, aproxima-se de -1 por baixo), pois para grandes |x| a fração \dfrac{8}{4-x^{2}} é pequena e negativa.
Agora o conjunto imagem (range). Observando monotonicidade e limites:
  • No intervalo (-2,2) a função tem mínimo em x=0 com f(0)=1 e tende a +\infty quando x\to\pm 2 (pelos lados interiores). Então a imagem de (-2,2) é [1,+\infty).
  • Em (2,\infty), a função é crescente, tende a -\infty quando x\to 2^{+} e tende a -1 quando x\to+\infty (por baixo). Logo a imagem de (2,\infty) é (-\infty,-1).
  • Em (-\infty,-2), similarmente, a imagem é (-\infty,-1).
Assim, a imagem total é
\text{Im}(f)=(-\infty,-1)\cup[1,\infty).

Passo 9

Resumo das características essenciais para o esboço (o que desenhar e como).
Pontos e assíntotas a marcar no desenho:
  • Domínio: x\neq \pm 2.
  • Assíntotas verticais: linhas x=2 e x=-2.
  • Assíntota horizontal: linha y=-1.
  • Intercepto com y: f(0)=1 (ponto (0,1)).
  • Não há intercepto com x (nenhum zero real).
  • Comportamento junto às assíntotas:
    • Em (-2,2): a curva desce de +\infty (quando x\to -2^{+}) até o mínimo (0,1), depois sobe para +\infty (quando x\to 2^{-}). Concavidade para cima em todo o intervalo (-2,2).
    • Em (2,\infty): a curva sai de -\infty em x\to 2^{+}, é crescente e concava para baixo, e aproxima-se de y=-1 por baixo quando x\to\infty.
    • Em (-\infty,-2): a curva sai de y=-1 por baixo quando x\to -\infty, é decrescente e concava para baixo, e vai para -\infty quando x\to -2^{-}.
  • Monotonicidade: decrescente para x<0 (nos dois ramos negativos) e crescente para x>0 (nos dois ramos positivos), respeitando as quebras em \pm 2.
  • Curvatura (concavidade): côncava para cima em (-2,2), côncava para baixo em (-\infty,-2) e (2,\infty).
  • Não há pontos de inflexão no domínio.
Como esboçar na prática (passo a passo no papel):
  1. Trace retas verticais em x=-2 e x=2 (assíntotas verticais) e a reta horizontal y=-1.
  2. Marque o ponto (0,1).
  3. No intervalo central (-2,2): desenhe uma curva côncava para cima que vem de +\infty ao se aproximar de -2^{+}, desce para (0,1), e sobe novamente para +\infty ao se aproximar de 2^{-}.
  4. No ramo direito (2,\infty): desenhe uma curva que parte de -\infty em x=2^{+}, cresce de forma côncava para baixo e tende assintoticamente a y=-1 por baixo.
  5. No ramo esquerdo (-\infty,-2): desenhe uma curva que vem de y=-1 por baixo quando x\to -\infty, decresce (concava para baixo) e desce para -\infty ao chegar em -2^{-}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\,\}.
Assíntotas verticais: x=-2 e x=2.
Assíntota horizontal: y=-1.
Intercepto com y: f(0)=1.
Zeros: nenhum.
Derivada: f'(x)=\dfrac{16x}{(4-x^{2})^{2}} \Rightarrow função decrescente para x<0, crescente para x>0; ponto crítico x=0 (mínimo local em (0,1)).
Segunda derivada: f''(x)=16\displaystyle\frac{4+3x^{2}}{(4-x^{2})^{3}} \Rightarrow côncava para cima em (-2,2), côncava para baixo em (-\infty,-2) e (2,\infty); sem pontos de inflexão no domínio.
Imagem (range): (-\infty,-1)\cup[1,\infty).

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