Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
Passo 1
O enunciado dá a afirmação
O que ele pede aqui é:
- Explicar em palavras o que essa igualdade significa.
- Escrever a versão matemática precisa (definição ε–δ) dessa afirmação.
- Dar um exemplo de função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Intuição e interpretação em palavras (modo “conversinha”): a expressão
diz que, quando eu me aproximo do ponto
vindando da esquerda (ou seja, com valores de
menores que
), os valores de
ficam cada vez mais próximos de
. Em outras palavras, quanto mais perto de
eu estiver vindo por números menores que
, mais a imagem
se aproxima de
. Note que isso só fala do comportamento para
; o valor real
pode ser
, pode ser outro número, ou até a função pode não estar definida em
.
Passo 3
Definição matemática precisa (forma ε–δ) da afirmação
:
Essa fórmula significa: para qualquer tolerância
que eu escolher em torno de
, existe um intervalo à esquerda de
(mais precisamente o intervalo
) tal que, sempre que
estiver dentro desse intervalo, o valor
estará dentro da tolerância
em relação a
.
Passo 4
Explicando os termos da definição (passo a passo, sem pular):
-
é a “tolerância” que eu quero para a saída de : quero que esteja dentro do intervalo . - Dizer “
” significa que posso escolher um intervalo à esquerda de suficientemente pequeno (de comprimento ) para garantir essa tolerância. - A condição
serve para restringir ao lado esquerdo de (ou seja, está próximo de e é menor que ). - A consequência
é justamente “ está dentro da tolerância em relação a ”.
Passo 5
Um exemplo muito simples (contínuo) que satisfaz a condição:
Por quê? Quando
temos
e
, logo
. Em particular, a aproximação vale vindo da esquerda (e também da direita), então
.
Passo 6
Um exemplo em que a condição da esquerda é satisfeita, mas o valor em
Aqui, para qualquer
tem-se
. Assim, para qualquer
basta escolher qualquer
e então, sempre que
, tem-se
. Portanto
. Note que
, então há descontinuidade à direita do sentido do limite, mas o limite à esquerda existe e é
.]
Passo 7
Como provar uma afirmação desse tipo numa prova — receita prática:
- Comece fixando um
arbitrário. - Mostre como escolher
(dependendo de ) de modo que sempre que ocorra . - Para funções que já são iguais a
numa vizinhança à esquerda de a escolha de é trivial; para funções contínuas use a continuidade (ou manipule desigualdades) para relacionar com .
Força aí — foco nos passos ε–δ na prova e lembra que limite à esquerda só olha para.
Resposta
Exemplo de função que satisfaz a condição: