Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow-3^{-}} f(x)=1

Passo 1

O enunciado dá a afirmação
\lim_{x\to -3^{-}} f(x)=1.
O que ele pede aqui é:
  • Explicar em palavras o que essa igualdade significa.
  • Escrever a versão matemática precisa (definição ε–δ) dessa afirmação.
  • Dar um exemplo de função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Intuição e interpretação em palavras (modo “conversinha”): a expressão \lim_{x\to -3^{-}} f(x)=1 diz que, quando eu me aproximo do ponto x=-3 vindando da esquerda (ou seja, com valores de x menores que -3), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de 1. Em outras palavras, quanto mais perto de -3 eu estiver vindo por números menores que -3, mais a imagem f(x) se aproxima de 1. Note que isso só fala do comportamento para x< -3; o valor real f(-3) pode ser 1, pode ser outro número, ou até a função pode não estar definida em -3.

Passo 3

Definição matemática precisa (forma ε–δ) da afirmação \lim_{x\to -3^{-}} f(x)=1:
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que, se } -3-\delta < x < -3,\\ \text{ então } |f(x)-1|<\varepsilon .ã
Essa fórmula significa: para qualquer tolerância \varepsilon que eu escolher em torno de 1, existe um intervalo à esquerda de -3 (mais precisamente o intervalo (-3-\delta,-3)) tal que, sempre que x estiver dentro desse intervalo, o valor f(x) estará dentro da tolerância \varepsilon em relação a 1.

Passo 4

Explicando os termos da definição (passo a passo, sem pular):
  • \varepsilon>0 é a “tolerância” que eu quero para a saída de f: quero que f(x) esteja dentro do intervalo (1-\varepsilon,\,1+\varepsilon).
  • Dizer “ \exists \delta>0” significa que posso escolher um intervalo à esquerda de -3 suficientemente pequeno (de comprimento \delta) para garantir essa tolerância.
  • A condição -3-\delta < x < -3 serve para restringir x ao lado esquerdo de -3 (ou seja, x está próximo de -3 e é menor que -3).
  • A consequência |f(x)-1|<\varepsilon é justamente “ f(x) está dentro da tolerância \varepsilon em relação a 1”.

Passo 5

Um exemplo muito simples (contínuo) que satisfaz a condição:
f(x)=\sin(x+3)+1.
Por quê? Quando x\to -3 temos x+3\to 0 e \sin(x+3)\to 0, logo f(x)\to 0+1=1. Em particular, a aproximação vale vindo da esquerda (e também da direita), então \lim_{x\to -3^{-}} f(x)=1.

Passo 6

Um exemplo em que a condição da esquerda é satisfeita, mas o valor em -3\) é diferente (mostra que limite à esquerda e valor da função podem discordar): \[f(x)=\begin{cases} 1, & x< -3,\\[4pt] 0, & x\ge -3. \end{cases}
Aqui, para qualquer x< -3\] suficientemente próximo de \(-3 tem-se f(x)=1. Assim, para qualquer \varepsilon>0 basta escolher qualquer \delta>0 e então, sempre que -3-\delta<x<-3, tem-se |f(x)-1|=0<\varepsilon. Portanto \lim_{x\to -3^{-}} f(x)=1. Note que f(-3)=0\neq1, então há descontinuidade à direita do sentido do limite, mas o limite à esquerda existe e é 1.]

Passo 7

Como provar uma afirmação desse tipo numa prova — receita prática:
  1. Comece fixando um \varepsilon>0 arbitrário.
  2. Mostre como escolher \delta>0 (dependendo de \varepsilon) de modo que sempre que -3-\delta<x<-3 ocorra |f(x)-1|<\varepsilon.
  3. Para funções que já são iguais a 1 numa vizinhança à esquerda de -3 a escolha de \delta é trivial; para funções contínuas use a continuidade (ou manipule desigualdades) para relacionar |x+3| com |f(x)-1|.
    Força aí — foco nos passos ε–δ na prova e lembra que limite à esquerda só olha para x< -3.

Resposta

\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que, se } -3-\delta < x < -3,\\ \text{ então } |f(x)-1|<\varepsilon.ã
Exemplo de função que satisfaz a condição:
f(x)=\begin{cases} 1, & x< -3,\\[4pt] 0, & x\ge -3. \end{cases}]

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