Explique, com suas palavras, os significados e consequências de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow I} f(x)=+\infty.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já está dado. O enunciado pede que eu:
  • Explique com palavras o significado da expressão \lim_{x\to I} f(x)=+\infty.
  • Escreva o significado matemático preciso (a definição formal) dessa expressão.
  • Dê um exemplo de função que satisfaça a condição dada.
Informação dada: a única expressão a analisar é \lim_{x\to I} f(x)=+\infty. Não foi dito se I é um número real ou um símbolo que pode representar +\infty ou -\infty; por isso vou cobrir as interpretações relevantes (quando I é um ponto finito e quando I é infinito).

Passo 2

Intuição e explicação em palavras — versão curta e direta.
A frase \lim_{x\to I} f(x)=+\infty quer dizer: ao fazermos x ficar cada vez mais próximo de I (ou, no caso I=+\infty, ao fazer x crescer sem limite), os valores de f(x) crescem sem limite superior — isto é, ficam maiores do que qualquer número real que se escolha. Em linguagem coloquial: "quando x se aproxima de I, f(x) explode para +\infty".

Passo 3

Significado matemático preciso — caso 1: I é um ponto finito ( I\in\mathbb{R}).
A definição formal dessa afirmação é:
\text{Para todo }M>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, para todo }x,\\\ 0<|x-I|<\delta\\ \Rightarrow\\ f(x)>M.
Vou explicar os quantificadores e as partes:
  • M>0 é um número real arbitrariamente grande que representa “qualquer limite superior desejado”.
  • Dizer "para todo M>0 existe \delta>0" significa: não importa o quão grande seja M, é possível encontrar uma distância \delta da qual, sempre que x estiver dentro dessa distância (mas diferente de I, por isso 0<|x-I|<\delta), o valor f(x) ficará maior que M.
  • O 0<|x-I|<\delta garante que estamos olhando somente pontos diferentes de I (o limite não exige que f esteja definido em I) e próximos a I.
    Essa definição formaliza a ideia de crescimento sem limite quando x se aproxima de I.

Passo 4

Significado matemático preciso — caso 2: I=+\infty (limite quando x tende a infinito).
A definição formal é:
\text{Para todo }M>0\\ \text{existe }R\in\mathbb{R}\\ \text{tal que, para todo }x>R,\\ \\ f(x)>M.
Explicação:
  • Aqui não usamos \delta porque não estamos aproximando x de um ponto; estamos fazendo x crescer.
  • Dado qualquer patamar M>0, existe um número R tal que sempre que x for maior que R (isto é, suficientemente grande), então f(x) ultrapassa M.
    Analogamente, para I=-\infty a condição seria: para todo M>0 existe R tal que, para todo x<R, f(x)>M.

Passo 5

Consequências importantes e observações que caem em prova
  • O enunciado \lim_{x\to I} f(x)=+\infty NÃO significa que a função converge para um número real; significa que diverge positivamente. É uma “limite impróprio”.
  • Nada é exigido sobre o valor de f(I). A função pode ou não estar definida em I; mesmo se estiver definida, o valor f(I) pode ser qualquer coisa.
  • Se I é finito e as duas limites laterais \lim_{x\to I^-} f(x) e \lim_{x\to I^+} f(x) ambos existem e valem +\infty, então a reta x=I é uma assíntota vertical da curva y=f(x).
  • A afirmação é sensível ao sinal: pode acontecer de \lim_{x\to I^+} f(x)=+\infty e \lim_{x\to I^-} f(x)=-\infty; nesse caso a afirmação \lim_{x\to I} f(x)=+\infty não é verdadeira (porque o limite bilateral não existe com valor +\infty). Em provas, sempre verifique se é limite bilateral ou unilateral.
  • Em operações algébricas com limites que envolvem +\infty atenção a formas indeterminadas (por exemplo +\infty - +\infty, 0\cdot +\infty, \frac{+\infty}{+\infty} etc.). Essas exigem análise mais cuidadosa (comparar taxas de crescimento).
  • Muitas funções que tendem a +\infty perto de um ponto têm denominador que vai a zero (por exemplo \dfrac{1}{(x-I)^2}) ou têm comportamento polinomial de grau positivo quando x\to\infty.

Passo 6

Exemplo concreto 1 — I finito. Mostrar que \displaystyle f(x)=\dfrac{1}{(x-I)^2} satisfaz \lim_{x\to I} f(x)=+\infty.
Prova detalhada (usando a definição): seja um M>0 arbitrário. Queremos encontrar \delta>0 tal que 0<|x-I|<\delta\Rightarrow \dfrac{1}{(x-I)^2}>M.
Escolha \delta=\dfrac{1}{\sqrt{M}}. Se 0<|x-I|<\delta então |x-I|<\dfrac{1}{\sqrt{M}}, elevando ao quadrado obtemos (x-I)^2<\dfrac{1}{M}. Tomando recíproco (tudo positivo) dá
\frac{1}{(x-I)^2}>M.
Logo a definição formal está satisfeita e \lim_{x\to I}\dfrac{1}{(x-I)^2}=+\infty.
Comentário prático: essa é uma construção típica em provas e em exames — o denominador quadrático garante que a função é positiva e cresce muito quando x se aproxima de I.

Passo 7

Exemplo concreto 2 — I=+\infty. Mostrar que \displaystyle f(x)=x^2 satisfaz \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty.
Prova (definição para x\to+\infty): seja M>0. Tome R=\sqrt{M}. Se x>R então x^2>M. Logo a condição da definição é satisfeita e \lim_{x\to+\infty} x^2=+\infty.
Comentário prático: qualquer polinômio de grau positivo com coeficiente líder positivo tende a +\infty quando x\to+\infty.

Passo 8

Exemplo ilustrativo sobre limites laterais (atenção em provas).
Considere g(x)=\dfrac{1}{x-I}. Então:
  • \lim_{x\to I^+} g(x)=+\infty (aproximando-se por valores x>I, o denominador é pequeno e positivo);
  • \lim_{x\to I^-} g(x)=-\infty (pela esquerda o denominador é pequeno e negativo).
    Portanto \lim_{x\to I} g(x) não existe (nem como número nem como +\infty). Isso mostra que dizer \lim_{x\to I} f(x)=+\infty exige atenção às duas direções se o enunciado usar limite bilateral implicitamente.

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (como reconhecer esse comportamento sem formalismo extenso)
  • Procure denominadores que se aproximem de zero; se o numerador tende a um positivo não nulo e o denominador quadrático tende a zero, espere +\infty.
  • Para x\to\pm\infty, compare graus de polinômios: se grau do numerador > grau do denominador e o sinal do termo dominante for positivo para grandes x, então a razão tende a +\infty.
  • Verifique sinais para limites unilaterais: o mesmo denominador pode produzir +\infty de um lado e -\infty do outro.
  • Em provas, se pedirem para provar formalmente, use a definição com M>0 e construa \delta ou R de maneira explícita (como nos exemplos).

Passo 10

Resumo/encorajamento final
Você já tem a definição formal, a intuição, consequências úteis, um exemplo com I finito e outro com I=+\infty, e dicas de como identificar esse comportamento rapidamente. Se estiver nervoso na prova, lembre-se: escolha um M>0 arbitrário e mostre que existe \delta (ou R) que garante f(x)>M; isso é sempre o núcleo de uma prova de limite que vale +\infty. Vai dar certo — respira, escreve a definição, escolhe \delta ou R esperto e mostra a desigualdade.

Resposta

Definição para I\in\mathbb{R}: \displaystyle\forall M>0\\ \exists\delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-I|<\delta\Rightarrow f(x)>M.
Definição para I=+\infty: \displaystyle\forall M>0\\ \exists R\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ x>R\Rightarrow f(x)>M.
Exemplo para I finito: \displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-I)^2} (tem \lim_{x\to I}f(x)=+\infty).
Exemplo para I=+\infty: \displaystyle f(x)=x^2 (tem \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty).

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