Explique, com suas palavras, os significados e consequências de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada. \lim _{x \rightarrow-F^{+}} f(x)=-H
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
\lim_{x\to -F^{+}} f(x) = -H
e pede que eu:
explique, com palavras, o que essa igualdade significa e quais são suas consequências;
escreva o significado matemático preciso da expressão;
dê um exemplo de uma função que satisfaça essa condição.
Informações relevantes dadas:
As letras F e H representam números reais fixos (podem ser positivos, negativos ou zero); por isso -F e -H são pontos/reais bem definidos.
A seta com o superíndice + em -F^{+} indica aproximação por valores de x maiores que -F (pela direita).
Não há informação sobre o valor de f em x=-F nem sobre o comportamento quando x<-F.
Passo 2
Explicação em palavras, de forma simples e intuitiva.
A afirmação \lim_{x\to -F^{+}} f(x) = -H diz que quando x se aproxima do número -F vindo pela direita (ou seja, por valores de x ligeiramente maiores que -F), os valores f(x) se aproximam do número -H. Geometricamente, no gráfico de f, se olhar para a região à direita do ponto vertical x=-F e for aproximando a abscissa de -F, a ordenada tende a -H.
Coisas importantes que isso NÃO diz:
Não afirma nada sobre f(-F) (a função pode estar definida ou não em -F, e mesmo se definida pode ter valor diferente de -H).
Não afirma nada sobre o limite pela esquerda \lim_{x\to -F^{-}} f(x). Esse outro limite pode existir e ser igual a -H, diferente de -H ou não existir.
Não impõe continuidade em -F (continuidade exigiria limites lateral esquerdo e direito iguais a -H e ainda f(-F)=-H).
Consequências úteis:
Há um intervalo à direita de -F onde f(x) fica arbitrariamente próximo de -H.
O limite pela direita, se existir, é único.
Equivalentemente, para qualquer sequência (x_n) com x_n>-F e x_n\to -F, tem-se f(x_n)\to -H.
Passo 3
Significado matemático preciso (definição epsilon–delta) e sua forma equivalente.
A forma epsilon–delta da afirmação é:
\text{Para todo } \varepsilon>0\\ \text{existe}\\ \delta>0\\ \text{tal que, se }0< x-(-F) < \delta\text{ então }|f(x)-(-H)|<\varepsilon.
Essa forma pode ser escrita de maneira um pouco mais explícita (substituindo x-(-F) por x+F):
\text{Para todo } \varepsilon>0\\ \text{existe}\\ \delta>0\\ \text{tal que, se }0< x+F<\delta\text{ então }|f(x)+H|<\varepsilon.
Interpretação dessa fórmula linha a linha:
"Para todo \varepsilon>0" significa: para qualquer tolerância de proximidade que eu escolher entre f(x) e -H.
"existe \delta>0" significa: existe um alcance à direita de -F (um tamanho de intervalo) que garante essa proximidade.
"se 0< x+F<\delta" assegura que x está estritamente à direita de -F (não igual a -F) e suficientemente perto (distância menor que \delta).
"então |f(x)+H|<\varepsilon" diz que f(x) está dentro da distância \varepsilon de -H.
Forma sequencial (equivalente): Para toda sequência (x_n) com x_n>-F para todo n e x_n\to -F, tem-se f(x_n)\to -H.
Passo 4
Demonstrações de fatos mencionados (passo a passo, com argumentos simples).
Unicidade do limite lateral pela direita.
Se existissem dois números L_1 e L_2 que fossem limites pela direita, então para qualquer sequência x_n>-F com x_n\to -F teríamos f(x_n)\to L_1 e f(x_n)\to L_2, logo L_1=L_2. Portanto o limite (quando existe) é único.
Não implica valor da função em -F.
Exemplo mental: pode-se definir f(-F) arbitrariamente; isso não altera o limite pela direita porque a definição exige 0< x+F<\delta, excluindo o ponto x=-F.
Não implica limite pela esquerda nem continuidade.
É perfeitamente possível ter \lim_{x\to -F^{+}} f(x) = -H e \lim_{x\to -F^{-}} f(x) \neq -H (ou não existir). A continuidade em -F só ocorre se ambos os limites laterais existem, são iguais a -H e f(-F)=-H.
Boundedness local pela direita.
Como consequência direta da definição: escolher \varepsilon=1 por exemplo, existe \delta>0 tal que se 0<x+F<\delta então |f(x)+H|<1. Isso implica que, numa vizinhança à direita de -F, os valores de f estão limitados entre -H-1 e -H+1. Logo f é limitada numa vizinhança direita de -F.
Passo 5
Exemplo 1 — função que satisfaz a condição de forma trivial (função constante).
Defina a função constante
f(x) = -H\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Verificação por epsilon–delta: dado \varepsilon>0, escolha qualquer \delta>0. Para todo x com 0<x+F<\delta (ou seja, para todo x>-F suficientemente próximo), tem-se
|f(x)+H| = |-H + H| = 0 < \varepsilon.
Portanto \lim_{x\to -F^{+}} f(x) = -H. (Essa função ainda tem limite pela esquerda igual a -H e é contínua — é o caso mais simples.)
Passo 6
Exemplo 2 — função com salto à esquerda, mostrando que o limite pela direita não controla o lado esquerdo nem o valor no ponto.
Para x>-F (qualquer ponto à direita de -F), f(x)=-H. Assim, pelo mesmo raciocínio do exemplo 1, \lim_{x\to -F^{+}} f(x) = -H.
Para x<-F, a função vale 0, então \lim_{x\to -F^{-}} f(x)=0 (se esse limite for considerado), que é diferente de -H a menos que -H=0.
No ponto x=-F a função foi definida como 1, valor completamente independente do limite lateral da direita.
Esse exemplo ilustra bem: a existência do limite lateral direito e seu valor não dizem nada sobre \lim_{x\to -F^{-}} f(x) nem sobre f(-F).]
Passo 7
Versão com sequências (útil em provas rápidas)
Uma forma prática de verificar \lim_{x\to -F^{+}} f(x) = -H é usar sequências: mostrar que para toda sequência (x_n) com x_n>-F e x_n\to -F, a sequência f(x_n) converge para -H. Isso é equivalente à definição epsilon–delta e é muitas vezes mais simples de aplicar em exemplos (por exemplo, pegar uma sequência x_n = -F + 1/n).
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (como verificar ou usar essa informação)
Para mostrar que um limite lateral existe, é suficiente prover um argumento epsilon–delta ou mostrar que qualquer sequência x_n>-F com x_n\to -F satisfaz f(x_n)\to -H.
Para refutar que \lim_{x\to -F^{+}} f(x) = -H, basta encontrar um \varepsilon>0 tal que para todo \delta>0 existe x com 0<x+F<\delta e |f(x)+H|\ge\varepsilon.
Lembre-se: limite lateral não implica valor da função no ponto nem limite lateral oposto; cuidado na hora de concluir continuidade.
Resposta
\text{Significado preciso: }\quad\forall\varepsilon>0\\ \exists\delta>0\\ \text{tal que, se }0<x+F<\delta\text{ então }|f(x)+H|<\varepsilon.ã
Exemplo simples que satisfaz: f(x)=-H para todo x.