(a) Explique qualitativamente como a força gravitacional da Lua sobre a Terra está relacionada à formação das marés.
(b) Discuta por que existem duas marés altas aproximadamente opostas na Terra em vez de apenas uma, levando em conta a diferença de intensidade do campo gravitacional ao longo do diâmetro terrestre.
(c) Comente o papel do Sol nas marés e descreva, em linhas gerais, o que são marés de sizígia e marés de quadratura.

Passo 1

O enunciado pede três coisas bem claras:
  • (a) Explicar qualitativamente como a força gravitacional da Lua sobre a Terra se relaciona com a formação das marés.
  • (b) Discutir por que existem duas marés altas aproximadamente opostas (duas elevações) na Terra em vez de apenas uma, levando em conta a variação da intensidade do campo gravitacional ao longo do diâmetro terrestre.
  • (c) Comentar o papel do Sol nas marés e descrever, em linhas gerais, o que são marés de sizígia e marés de quadratura.
Informações implícitas que usarei sem pedir nada (valores e conceitos conhecidos):
  • A lei da gravitação universal de Newton: a aceleração gravitacional produzida por uma massa M a uma distância r é \displaystyle g(r)=\frac{G M}{r^{2}}, onde G é a constante gravitacional.
  • A Lua está a uma distância média da Terra muito maior que o raio da Terra, então é razoável usar aproximações por expansão em série (Taylor) para diferenças de campo entre pontos próximos ao centro da Terra.
  • Dados típicos (usados só para dar ideia numérica): massa do Sol e da Lua e distâncias médias serão citadas na discussão do papel do Sol.

Passo 2

Conceito central: força gravitacional e força de maré (noção física e matemática)
  • A força gravitacional atrai cada partícula de água da Terra em direção à Lua com intensidade que depende da distância entre a partícula e a Lua. Se duas partículas estão a distâncias ligeiramente diferentes da Lua, elas sentem forças gravitacionais diferentes.
  • Essa diferença de força entre pontos diferentes da Terra é o que chamamos de força de maré ou aceleração de maré. Em outras palavras, marés não são simplesmente “a Lua puxando a água” — são o efeito da variação (o gradiente) do campo gravitacional da Lua ao longo do volume da Terra.
  • Fórmula básica usada aqui: comece com a aceleração no centro da Terra (distância média d até a Lua)
\text{aceleração no centro:}\quad a_{\mathrm{c}}=\frac{G M_{\mathrm{Lua}}}{d^{2}}.çã
Considere um ponto na superfície da Terra na direção da Lua, a uma distância d-R (onde R é o raio da Terra). A aceleração ali é
a_{\mathrm{perto}}=\frac{G M_{\mathrm{Lua}}}{(d-R)^{2}}.
Queremos a diferença a_{\mathrm{perto}}-a_{\mathrm{c}}. Como R\ll d, podemos fazer uma expansão em série (Taylor) para obter uma expressão simples:
\frac{1}{(d-R)^{2}}\approx\frac{1}{d^{2}}\left(1+\frac{2R}{d}\right).
Assim
a_{\mathrm{perto}}-a_{\mathrm{c}}\approx \frac{G M_{\mathrm{Lua}}}{d^{2}}\cdot\frac{2R}{d}=\frac{2G M_{\mathrm{Lua}} R}{d^{3}}.
  • Do outro lado (ponto oposto, voltado para longe da Lua), a diferença em relação ao centro tem o mesmo módulo mas sinal negativo (resultado aproximado -2G M_{\mathrm{Lua}} R/d^{3}). Em resumo, a típica ordem de grandeza da aceleração de maré é
\boxed{a_{\text{maré}}\sim \frac{2G M_{\mathrm{Lua}} R}{d^{3}}.}é
Expliquei a origem algebraica porque esse número surge diretamente do gradiente do campo gravitacional — é isto que gera as marés.

Passo 3

Explicação qualitativa do que a fórmula significa (ligando fórmulas a imagem mental)
  • Perto da Lua (lado voltado para ela): a gravidade lunar é um pouco mais forte do que no centro da Terra, então a água é puxada levemente em direção à Lua. Isso tende a formar um “inchaço” (ou bojo) do oceano no lado voltado para a Lua.
  • No centro da Terra a aceleração devido à Lua é a_{\mathrm{c}}. Mas na superfície próxima à Lua a aceleração é maior que a_{\mathrm{c}} por aproximadamente +2G M_{\mathrm{Lua}} R/d^{3}, então há um empuxo relativo para o lado lunar.
  • No lado oposto (longe da Lua) a gravidade lunar é mais fraca que em a_{\mathrm{c}}. Assim, da perspectiva do centro da Terra, as partículas de água no lado oposto sentem menos puxão lunar; como a Terra+Lua giram em torno de um baricentro comum, existe um termo inercial (que vou explicar no próximo passo) que causa que essa água fique relativamente “mais livre” e forme outro inchaço. Em termos de aceleração de maré, o lado oposto mostra uma diferença de sinal, levando a um segundo bojo.

Passo 4

Por que existem duas marés altas (duas elevações) em vez de apenas uma — interpretação física com o quadro rotante
  • Uma maneira muito didática de ver isso é trabalhar no referencial que gira com a Terra e a Lua em torno do baricentro do sistema Terra–Lua. Nesse referencial há uma aceleração centrífuga para cada ponto, resultante da rotação em torno do centro de massa comum.
  • Importante: a aceleração centrífuga é praticamente a mesma no centro da Terra e no lado oposto (pois a distância ao baricentro muda pouco dentro da Terra). Em suma, a aceleração centrífuga age “para fora” e é quase uniforme sobre a Terra.
  • No lado próximo à Lua: a atração lunar é mais forte que no centro; soma-se à centrífuga de forma que a água é puxada para a Lua — bojo voltado para a Lua.
  • No lado oposto: a atração lunar é mais fraca que no centro; a aceleração centrífuga, que é praticamente a mesma do centro, agora é maior do que a atração lunar local, resultando num efeito líquido que “puxa” a água para fora (ou, dito de outro modo, a água fica menos atraída para o centro da Terra), formando o segundo bojo atrás da Terra.
  • Resultado intuitivo: a combinação do gradiente do campo gravitacional da Lua (que puxa mais fortemente do lado próximo) e da aceleração centrífuga no quadro rotante (que é quase uniforme) gera dois máximos de maré diametralmente opostos.
  • Resumindo em linguagem simples: um bojo é causado porque a Lua puxa a água para ela; o outro bojo existe porque, no lado longe, a Lua puxa menos do que faz em relação ao centro, e a força centrífuga “empurra” a água para fora — portanto há dois inchaços.

Passo 5

Consequências observáveis: ocorrência de duas marés por dia e período das marés
  • À medida que a Terra gira em 24 horas, cada ponto da superfície passa por esses dois bojos por dia, então normalmente temos duas marés altas e duas marés baixas por dia lunar. A periodicidade real que conta é o dia lunar (o tempo para a Terra “ultrapassar” a Lua devido ao movimento orbital da Lua), que é cerca de 24\text{ h }50\text{ min}. Por isso as marés ocorrem aproximadamente a cada 12\text{ h }25\text{ min} entre sucessivas altas.
  • Observação prática: a amplitude final das marés num dado local depende muito da geometria costeira, profundidade, ressonância de baías e fricção — por isso lugares diferentes têm amplitudes muito diferentes.

Passo 6

Papel do Sol nas marés — quantidade relativa e conceitos de sizígia e quadratura
  • O Sol também produz marés porque também gera um campo gravitacional não uniforme sobre a Terra, ou seja, tem seu próprio gradiente e, portanto, contribui para as forças de maré.
  • O efeito das marés do Sol escala com a mesma lei de gradiente: proporcional a \displaystyle \frac{M}{d^{3}} (massa da fonte dividida pela distância ao cubo). Mesmo que o Sol seja muito mais massivo que a Lua, está muitíssimo mais longe, e por isso o fator \dfrac{M_{\odot}}{d_{\odot}^{3}} fica comparável mas menor que o correspondente da Lua.
  • Estimativa numérica (valores aproximados usados apenas para comparação): M_{\odot}\approx 1,989\times10^{30}\\ (\text{kg}),\qquad d_{\odot}\approx 1,496\times10^{11}\\ (\text{m}),
M_{\mathrm{Lua}}\approx 7,35\times10^{22}\\ (\text{kg}),\qquad d_{\mathrm{Lua}}\approx 3,844\times10^{8}\\ (\text{m}).
Calculando as quantidades \dfrac{M}{d^{3}} para cada corpo (só para ter uma razão)
\frac{M_{\odot}}{d_{\odot}^{3}}\\ \text{versus}\\ \frac{M_{\mathrm{Lua}}}{d_{\mathrm{Lua}}^{3}},
obtém-se numericamente que a ação de maré do Sol é aproximadamente 0{,}46 vezes a da Lua (ou seja, cerca de 46\% da contribuição lunar). Esse número explica por que a Lua é o principal agente das marés, mas o Sol tem participação importante.
  • Sizígia (marés de sizígia, também chamadas marés de primavera): quando o Sol, a Lua e a Terra estão alinhados (isto é, Lua nova ou Lua cheia), as forças de maré do Sol e da Lua se somam praticamente na mesma direção — resultando em marés com amplitude máxima (altas mais altas e baixas mais baixas).
  • Quadratura (marés de quadratura, também chamadas marés mortas ou de neap): quando o Sol e a Lua formam um ângulo de 90^\circ visto da Terra (isto é, fases de quarto crescente/minguante), as contribuições de maré do Sol e da Lua ficam em direções aproximadamente perpendiculares e parte de seus efeitos se cancelam, produzindo marés de amplitude menor.
  • Em resumo: alinhamento (sizígia) → marés mais fortes; quadratura → marés mais fracas. A Lua domina, o Sol contribui e, dependendo da fase relativa, o resultado pode aumentar ou diminuir a amplitude das marés observadas.

Passo 7

Outros pontos práticos e dicas para a prova (resumindo o raciocínio)
  • Em uma questão de prova: pense “maré = gradiente do campo gravitacional” e, se pedirem uma expressão aproximada, use a expansão que leva a a_{\text{maré}}\sim 2G M R/d^{3}é.
  • Para justificar duas marés altas, explique a combinação do gradiente do campo (diferença entre pontos) com a aceleração centrífuga no referencial rotante — desenhe a linha Terra–Lua e mostre os sinais das diferenças de aceleração.
  • Para o papel do Sol, cite a regra prática: comparar \dfrac{M}{d^{3}} para ver qual corpo domina e explicar qualitativamente sizígia vs quadratura.
  • Se a questão for conceitual, use as palavras “gradiente do campo” e “referencial rotante/força centrífuga” — isso mostra que você entendeu a causa física, não só que “a Lua puxa a água”.

Resposta

(a) A força gravitacional da Lua varia de ponto a ponto na Terra (é o gradiente do campo gravitacional); essa variação gera forças de maré que deslocam a água e formam bojos do oceano nas direções onde a diferença de aceleração é máxima.
(b) Existem duas marés altas porque a diferença de gravidade entre superfície e centro (no lado próximo) puxa a água para a Lua, enquanto no lado oposto a atração lunar é mais fraca que no centro e a aceleração centrífuga (no quadro rotante Terra–Lua) produz um bojo oposto; o efeito de maré típico tem ordem de grandeza \displaystyle a_{\text{maré}}\sim\frac{2G M_{\mathrm{Lua}} R}{d^{3}}é.
(c) O Sol também produz marés; sua contribuição depende de \displaystyle M_{\odot}/d_{\odot}^{3} e vale cerca de 0{,}46 vezes a da Lua (aprox.). Marés de sizígia ocorrem quando Sol, Lua e Terra estão alinhados (Lua nova/cheia) e as marés somam → amplitudes máximas; marés de quadratura ocorrem quando Sol e Lua formam ângulo de 90^\circ (quartos) e seus efeitos se cancelam parcialmente → amplitudes menores.

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