Explique a relação entre a temperatura e a energia cinética média em um gás ideal.

Passo 1

O enunciado pede para entender como a temperatura de um gás ideal está ligada à energia cinética média de suas moléculas. O conteúdo principal aqui é a teoria cinética dos gases e o teorema da equipartição de energia, que relaciona grandezas macroscópicas (temperatura) a grandezas microscópicas (energia das partículas).

Passo 2

Na teoria cinética, definimos a energia cinética de uma molécula de massa m com velocidade v como
E_k = \tfrac12\,m\,v^2.
A energia cinética média por molécula é então
\overline{E_k} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\tfrac12\,m\,v_i^2.

Passo 3

Por outro lado, a pressão P de um gás ideal preenchendo volume V com N moléculas pode ser expressa pela soma dos impactos moleculares e fica
P = \frac{2}{3}\,\frac{N}{V}\,\overline{E_k}.
Também sabemos que o gás ideal obedece à equação
P\,V = N\,k_B\,T,
onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta.

Passo 4

Igualando as duas expressões para P, temos
\frac{2}{3}\,\frac{N}{V}\,\overline{E_k} = \frac{N\,k_B\,T}{V}
e, simplificando N/V dos dois lados, obtemos
\overline{E_k} = \tfrac{3}{2}\,k_B\,T.

Passo 5

Isso mostra que a temperatura é diretamente proporcional à energia cinética média das moléculas. Para um gás monatomicamente ideal, cada molécula tem em média
\overline{E_k} = \tfrac{3}{2}\,k_B\,T.
Em gases com mais graus de liberdade, o fator \tfrac{3}{2} vira \tfrac{f}{2}, onde f é o número de graus de liberdade.

Resposta

A relação fundamental é
\overline{E_k} = \tfrac{3}{2}\,k_B\,T,
isto é, a temperatura mede diretamente a energia cinética média das partículas de um gás ideal.

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