Dado d L=L_{o} \alpha d T encontre a expressão para \Delta V em função de V_{o}, \alpha e d T.

Passo 1

O enunciado dá a expansão linear diferencial
dL = L_{0}\,\alpha\,dT
Queremos a expansão volumétrica \Delta V em termos de V_{0}, \alpha e dT.

Passo 2

Imagine um cubo de lado L, de modo que seu volume seja
V = L^3.
Para ver como V varia quando L varia, usamos a diferencial de L^3:
dV = d\bigl(L^3\bigr) = 3\,L^2\,dL.

Passo 3

No instante inicial L = L_{0}, temos
dV = 3\,L_{0}^2\,dL.
Substituindo dL = L_{0}\,\alpha\,dT vem
dV = 3\,L_{0}^2\,(L_{0}\,\alpha\,dT) = 3\,L_{0}^3\,\alpha\,dT.
Como V_{0}=L_{0}^3,
dV = 3\,V_{0}\,\alpha\,dT.

Resposta

\Delta V = 3\,V_{0}\,\alpha\,dT.

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