Explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{3} :
S=\{(1,3,0),(4,1,2),(-2,5,-2)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S e pede para explicar por que S não é uma base de \mathbb{R}^3.
Dados fornecidos:
  • S=\{(1,3,0),(4,1,2),(-2,5,-2)\}.
O que é pedido:
  • Mostrar a razão pela qual S não é uma base de \mathbb{R}^3 — isto é, apresentar uma justificativa clara (por exemplo, mostrar que os vetores são linearmente dependentes ou que não geram todo \mathbb{R}^3).

Passo 2

O que significa ser uma base (explicação didática):
  • Uma família de vetores forma uma base de \mathbb{R}^3 se e somente se satisfaz duas propriedades simultâneas:
    1. Os vetores geram \mathbb{R}^3 (ou seja, qualquer vetor de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear deles).
    2. Os vetores são linearmente independentes (ou seja, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, com todos os coeficientes iguais a zero).
  • Para um conjunto com exatamente três vetores em \mathbb{R}^3, é equivalente verificar apenas que os vetores são linearmente independentes: se três vetores em \mathbb{R}^3 são independentes, então eles automaticamente formam uma base; se são dependentes, não formam base.
Definição de independência linear (explicada):
  • Dizemos que vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, não todos zero, tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (0,0,0).
  • Se a única solução é a=b=c=0, então são linearmente independentes.
Meu plano (simples e direto): vou tentar encontrar escalares a,b,c, não todos zero, com
a(1,3,0) + b(4,1,2) + c(-2,5,-2) = (0,0,0).
Se eu conseguir, isso prova que S é linearmente dependente e, portanto, não é base.

Passo 3

Escrevendo a equação da combinação linear coordenada a coordenada:
a\,(1,3,0) + b\,(4,1,2) + c\,(-2,5,-2) = (0,0,0).
Isto dá o sistema de três equações (uma para cada coordenada):
\begin{cases} a + 4b - 2c = 0,\\[4pt] 3a + b + 5c = 0,\\[4pt] 0a + 2b - 2c = 0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema buscando uma solução não-trivial (algum coeficiente diferente de zero).]

Passo 4

Resolver a equação da terceira coordenada primeiro (é a mais simples):
2b - 2c = 0.
Dividindo por 2,
b - c = 0 \quad\Rightarrow\quad b = c.
Esse é um vínculo simples entre b e c.

Passo 5

Substituir b=c nas outras equações.
Na primeira equação:
a + 4b - 2c = 0.
Como b=c, isso vira
a + 4b - 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad a + 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -2b.
Na segunda equação:
3a + b + 5c = 0.
Substituindo a=-2b e c=b,
3(-2b) + b + 5b = 0.
Calcule passo a passo:
3(-2b) = -6b,
então
-6b + b + 5b = (-6 + 1 + 5)b = 0\cdot b = 0.
Essa equação é satisfeita para qualquer b (é identidade 0=0), então não impõe nova restrição além de a=-2b e c=b.

Passo 6

Concluir existência de solução não-trivial:
  • Podemos escolher um valor conveniente para b diferente de zero; por exemplo, tomar b=1.
  • Com b=1 temos c=b=1 e a=-2b=-2.
  • Verificação direta (somando as combinações):
-2(1,3,0) + 1(4,1,2) + 1(-2,5,-2)
Calcule coordenada a coordenada:
\text{1ª coord.: } -2\cdot1 + 4 + (-2) = -2 + 4 -2 = 0,ª
\text{2ª coord.: } -2\cdot3 + 1 + 5 = -6 + 1 + 5 = 0,ª
\text{3ª coord.: } -2\cdot0 + 2 + (-2) = 0 + 2 -2 = 0.ª
Logo a combinação dá o vetor nulo:
-2(1,3,0) + (4,1,2) + (-2,5,-2) = (0,0,0),
com coeficientes (-2,1,1) que não são todos zeros. Isso mostra que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 7

Interpretação final e conclusão didática:
  • Encontramos uma combinação linear não-trivial que produz o vetor nulo, portanto os vetores de S são linearmente dependentes.
  • Como uma base de \mathbb{R}^3 exige três vetores linearmente independentes, S não pode ser uma base de \mathbb{R}^3.
  • Observação prática: outra forma (equivalente) seria montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante; um determinante zero indicaria dependência linear. Aqui já apresentamos explicitamente a combinação não-trivial, que é uma prova direta.

Resposta

S não é uma base de \mathbb{R}^{3} porque os vetores são linearmente dependentes; por exemplo,
-2(1,3,0) + 1(4,1,2) + 1(-2,5,-2) = (0,0,0).

Exercícios relacionados