Explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{3} : S=\{(1,3,0),(4,1,2),(-2,5,-2)\}
Passo 1
O enunciado dá o conjunto S e pede para explicar por que S não é uma base de \mathbb{R}^3.
Dados fornecidos:
S=\{(1,3,0),(4,1,2),(-2,5,-2)\}.
O que é pedido:
Mostrar a razão pela qual S não é uma base de \mathbb{R}^3 — isto é, apresentar uma justificativa clara (por exemplo, mostrar que os vetores são linearmente dependentes ou que não geram todo \mathbb{R}^3).
Passo 2
O que significa ser uma base (explicação didática):
Uma família de vetores forma uma base de \mathbb{R}^3 se e somente se satisfaz duas propriedades simultâneas:
Os vetores geram \mathbb{R}^3 (ou seja, qualquer vetor de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear deles).
Os vetores são linearmente independentes (ou seja, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, com todos os coeficientes iguais a zero).
Para um conjunto com exatamente três vetores em \mathbb{R}^3, é equivalente verificar apenas que os vetores são linearmente independentes: se três vetores em \mathbb{R}^3 são independentes, então eles automaticamente formam uma base; se são dependentes, não formam base.
Definição de independência linear (explicada):
Dizemos que vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, não todos zero, tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (0,0,0).
Se a única solução é a=b=c=0, então são linearmente independentes.
Meu plano (simples e direto): vou tentar encontrar escalares a,b,c, não todos zero, com
a(1,3,0) + b(4,1,2) + c(-2,5,-2) = (0,0,0).
Se eu conseguir, isso prova que S é linearmente dependente e, portanto, não é base.
Passo 3
Escrevendo a equação da combinação linear coordenada a coordenada:
a\,(1,3,0) + b\,(4,1,2) + c\,(-2,5,-2) = (0,0,0).
Isto dá o sistema de três equações (uma para cada coordenada):
com coeficientes (-2,1,1) que não são todos zeros. Isso mostra que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 7
Interpretação final e conclusão didática:
Encontramos uma combinação linear não-trivial que produz o vetor nulo, portanto os vetores de S são linearmente dependentes.
Como uma base de \mathbb{R}^3 exige três vetores linearmente independentes, S não pode ser uma base de \mathbb{R}^3.
Observação prática: outra forma (equivalente) seria montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante; um determinante zero indicaria dependência linear. Aqui já apresentamos explicitamente a combinação não-trivial, que é uma prova direta.
Resposta
S não é uma base de \mathbb{R}^{3} porque os vetores são linearmente dependentes; por exemplo,