Explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{3} :
S=\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)\}
e pede para explicar por que S não é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos de S são os vetores (0,0,0), (1,0,0) e (0,1,0).
  • A pergunta é justificar por que esse conjunto não forma uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que significa ser uma base de \mathbb{R}^{3}? Vou explicar passo a passo.
Definição (comportamento que devemos verificar):
  • Um conjunto de vetores é base de \mathbb{R}^{3} se e somente se satisfaz duas condições simultâneas:
    1. É linearmente independente.
    2. Gera (ou seja, gera por combinações lineares) todo \mathbb{R}^{3}.
Definição de independência linear:
  • Dados vetores v_{1},\dots,v_{k}, eles são linearmente independentes quando a única solução do sistema
a_{1}v_{1}+\cdots+a_{k}v_{k}=(0,0,0)
é a_{1}=\cdots=a_{k}=0.
  • Se existe uma solução com alguns a_{i}\neq 0, então os vetores são linearmente dependentes.
Definição de gerar \mathbb{R}^{3} (span):
  • O conjunto gera \mathbb{R}^{3} se qualquer vetor w\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.

Passo 3

Teste rápido de independência: propriedade do vetor nulo.
Fato útil (e muito usado em provas): qualquer conjunto que contenha o vetor nulo (0,0,0) é automaticamente linearmente dependente. A razão é simples: se (0,0,0) está entre os vetores, então é possível escrever
1\cdot(0,0,0)+0\cdot(1,0,0)+0\cdot(0,1,0)=(0,0,0),
onde os coeficientes não são todos nulos (o primeiro é 1). Isso fornece uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero, logo há dependência linear.
Aplicando a ideia a S: como S contém (0,0,0), concluímos imediatamente que S é linearmente dependente. Portanto S falha na condição (1) para ser base.
Dica de prova: em exame, olhar primeiro se o conjunto contém o vetor zero; se sim, já pode responder que não é base por dependência linear.

Passo 4

Teste de geração (span): ver se as combinações lineares podem produzir qualquer vetor de \mathbb{R}^{3}.
Considere uma combinação linear genérica dos vetores de S:
a\,(0,0,0)+b\,(1,0,0)+c\,(0,1,0).
Calculando coordenada a coordenada obtemos
a\,(0,0,0)+b\,(1,0,0)+c\,(0,1,0)=(b,c,0).
Observe que a terceira coordenada dessa combinação é sempre 0, independentemente de a,b,c.
Consequência: qualquer vetor produzido por combinações lineares de vetores de S tem terceira coordenada zero. Logo não é possível obter um vetor com terceira coordenada diferente de zero, por exemplo (0,0,1) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S. Portanto S não gera \mathbb{R}^{3} — falha na condição (2).

Passo 5

Resumo das falhas (como explicar na prova de forma curta e segura):
  • Falha por independência linear: S contém (0,0,0), logo é linearmente dependente.
  • Falha por geração: todas as combinações lineares dos vetores de S têm terceira coordenada igual a 0, então não geram vetores com componente z diferente de 0; assim não geram \mathbb{R}^{3}.
Ambas as observações já bastam para concluir que S não é base.

Resposta

S não é uma base de \mathbb{R}^{3} porque é linearmente dependente (contém o vetor nulo (0,0,0)) e não gera \mathbb{R}^{3} (todas as combinações lineares têm terceira coordenada igual a 0).

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