Explique por que
não é uma base de
:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para explicar por que
não é uma base de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Os elementos de
são os vetores , e . - A pergunta é justificar por que esse conjunto não forma uma base de
.
Passo 2
O que significa ser uma base de
? Vou explicar passo a passo.
Definição (comportamento que devemos verificar):
- Um conjunto de vetores é base de
se e somente se satisfaz duas condições simultâneas: - É linearmente independente.
- Gera (ou seja, gera por combinações lineares) todo
.
Definição de independência linear:
- Dados vetores
, eles são linearmente independentes quando a única solução do sistema
é
.
- Se existe uma solução com alguns
, então os vetores são linearmente dependentes.
Definição de gerar
(span):
- O conjunto gera
se qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
Passo 3
Teste rápido de independência: propriedade do vetor nulo.
Fato útil (e muito usado em provas): qualquer conjunto que contenha o vetor nulo
é automaticamente linearmente dependente. A razão é simples: se
está entre os vetores, então é possível escrever
onde os coeficientes não são todos nulos (o primeiro é
). Isso fornece uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero, logo há dependência linear.
Aplicando a ideia a
: como
contém
, concluímos imediatamente que
é linearmente dependente. Portanto
falha na condição (1) para ser base.
Dica de prova: em exame, olhar primeiro se o conjunto contém o vetor zero; se sim, já pode responder que não é base por dependência linear.
Passo 4
Teste de geração (span): ver se as combinações lineares podem produzir qualquer vetor de
.
Considere uma combinação linear genérica dos vetores de
:
Calculando coordenada a coordenada obtemos
Observe que a terceira coordenada dessa combinação é sempre
, independentemente de
.
Consequência: qualquer vetor produzido por combinações lineares de vetores de
tem terceira coordenada zero. Logo não é possível obter um vetor com terceira coordenada diferente de zero, por exemplo
não pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
. Portanto
não gera
— falha na condição (2).
Passo 5
Resumo das falhas (como explicar na prova de forma curta e segura):
- Falha por independência linear:
contém , logo é linearmente dependente. - Falha por geração: todas as combinações lineares dos vetores de
têm terceira coordenada igual a , então não geram vetores com componente diferente de ; assim não geram .
Ambas as observações já bastam para concluir que
não é base.