Explique o que é uma série alternada e o Teste da Série Alternada.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o conceito de série alternada e apresentarmos o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz). O conteúdo envolve séries infinitas, comportamento de sinais e noções de limite e monotonicidade.
Passo 2
Uma série infinita é uma soma do tipo
, onde
é uma sequência. No caso de série alternada, os termos mudam de sinal a cada parcela, ou seja, podemos escrever os termos como
ou
, com
.
Dizemos que é série alternada quando os sinais dos termos alternam-se: positivo, negativo, positivo, etc. Formalmente, existe uma sequência positiva
tal que
ou
.
Dizemos que
Passo 3
O Teste da Série Alternada (Leibniz) afirma que, se
satisfaz: 1)
é monotonamente decrescente (
para todo
); 2)
, então a série alternada
é convergente.
Além disso, sob essas mesmas hipóteses, o resto tem módulo limitado por
, ou seja,
. Isso nos dá um controle sobre o erro ao aproximar a soma pela soma parcial.
Além disso, sob essas mesmas hipóteses, o resto
Passo 4
Em resumo, o Teste da Série Alternada fornece condições simples para garantir a convergência de séries cujos termos mudam de sinal, bastando verificar decrescimento e limite zero dos módulos dos termos.
Resposta
Uma série alternada é uma série infinita cujos termos mudam de sinal a cada parcela, podendo ser escrita como
com
. O Teste da Série Alternada (Leibniz) garante que essa série converge se: 1)
é monotonamente decrescente; 2)
. Além disso, o erro ao truncar a série em
termos é limitado por
.