Explique o que é uma série alternada e o Teste da Série Alternada.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o conceito de série alternada e apresentarmos o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz). O conteúdo envolve séries infinitas, comportamento de sinais e noções de limite e monotonicidade.

Passo 2

Uma série infinita é uma soma do tipo sumn=1^infty un, onde (un) é uma sequência. No caso de série alternada, os termos mudam de sinal a cada parcela, ou seja, podemos escrever os termos como un = (-1)^n,an ou un = (-1)^n+1,an, com an>0.
Dizemos que sumn=1^infty un é série alternada quando os sinais dos termos alternam-se: positivo, negativo, positivo, etc. Formalmente, existe uma sequência positiva (an) tal que un = (-1)^n,an ou un = (-1)^n+1,an.

Passo 3

O Teste da Série Alternada (Leibniz) afirma que, se (an) satisfaz: 1) an é monotonamente decrescente ( an+1<= an para todo n); 2) limntoinftyan = 0, então a série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1an é convergente.
Além disso, sob essas mesmas hipóteses, o resto RN = sumn=N+1^infty(-1)^n+1an tem módulo limitado por aN+1, ou seja, |RN|<= aN+1. Isso nos dá um controle sobre o erro ao aproximar a soma pela soma parcial.

Passo 4

Em resumo, o Teste da Série Alternada fornece condições simples para garantir a convergência de séries cujos termos mudam de sinal, bastando verificar decrescimento e limite zero dos módulos dos termos.

Resposta

Uma série alternada é uma série infinita cujos termos mudam de sinal a cada parcela, podendo ser escrita como sumn=1^infty(-1)^n+1an com an>0. O Teste da Série Alternada (Leibniz) garante que essa série converge se: 1) (an) é monotonamente decrescente; 2) limntoinftyan=0. Além disso, o erro ao truncar a série em N termos é limitado por aN+1.

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