Esboce a região de integração para a integral iterada
integralpi^2 pi integralsen y^ln (y) f(x, y) d x d y

Passo 1

Na questão, temos a integral iterada integralpi^2piintegralsin y^ln(y)f(x,y),dx,dy. O objetivo é esboçar a região de integração no plano (x,y). Vamos usar conceitos de curvas definidas por x=sin y e x=ln(y).

Passo 2

Primeiro identifique as duas fronteiras verticais: x=sin y e x=ln(y) para y variando de pi até 2pi. Note que sin y oscila entre 0 em y=pi, atinge -1 em y=3pi/2 e volta a 0 em y=2pi, enquanto ln(y) cresce de ln(pi)approx1,14 até ln(2pi)approx1,84.

Passo 3

Verifique que para todo yin[pi,2pi] vale sin y<=0, logo sin y. Isso garante que, em cada altura y, o segmento de x vai da curva ondulada x=sin y (à esquerda) até o arco suave x=ln(y) (à direita).

Passo 4

No esboço desenhe eixos: eixo horizontal x e vertical y. Marque y=pi e y=2pi no eixo y. Desenhe a curva ondulada x=sin y entre esses valores de y e o arco crescente x=ln(y). Sombreie a região entre elas, para pi<= y<=2pi.

Resposta

A região de integração é
R=(x,y):pi<= y<=2pi,;sin y<= x<=ln(y)
no plano (x,y), limitada pela curva ondulada x=sin y (à esquerda), a curva crescente x=ln(y) (à direita) e as retas horizontais y=pi e y=2pi.

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