Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{3}+n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{3}+n}}
O tema é testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da comparação limite com uma p-série.

Passo 2

Observe que, para n grande,
\sqrt{n^{3}+n} = n^{3/2}\,\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}
Logo o termo geral
a_{n}=\frac{3}{\sqrt{n^{3}+n}} =\frac{3}{n^{3/2}\,\sqrt{1+1/n^{2}}}.

Passo 3

Considere a p-série de referência
b_{n}=\frac{1}{n^{3/2}},
que converge porque p=\tfrac{3}{2}>1.

Passo 4

Aplique o teste da comparação limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{3/(n^{3/2}\sqrt{1+1/n^{2}})}{1/n^{3/2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{\sqrt{1+1/n^{2}}} =3.
Como esse limite é finito e não nulo, a série \sum a_{n} converge ou diverge simultaneamente com \sum b_{n}.

Resposta

A série converge.

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