Explique se a série converge ou diverge(a constante
é maior que 1).
Passo 1
O enunciado nos dá a série
com
,
. O que queremos é decidir se essa série converge ou diverge. Vamos usar o teste de condensação de Cauchy, que é muito eficaz quando o termo geral é definido por funções de crescimento lento, como potências de logaritmo.
Passo 2
Verificamos que a sequência
é positiva e decrescente para
, pois
cresce e, portanto,
também cresce. Logo podemos aplicar o teste de condensação de Cauchy: a série
converge se, e somente se, a série
converge.
Passo 3
Calculamos o termo condensado:
Passo 4
Examinamos a série
Para qualquer inteiro
,
cresce geometricamente (dominado pelo
), então essa série diverge, pois os termos não tendem a zero rápido o suficiente (de fato crescem exponencialmente). Como a série condensada diverge, pela equivalência do teste de Cauchy, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge para todo inteiro
.